Section outline

  • General

    Collapse all Expand all

  • Exercice1

    • 📘 Série d'exercices – Mathématiques

      Géométrie – Complexes – Probabilités – Analyse
      📌 Exercice 1 – Géométrie dans l'espace

      Dans l'espace rapporté à \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère :

      • les points \(A(0, -1, 1)\) et \(B(1, -1, 0)\),
      • la sphère \(\mathscr{S}\) d'équation : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z + 2 = 0. \]
      1. Montrer que le centre de \(\mathscr{S}\) est \(\Omega(1, 0, 2)\) et que son rayon est \(\sqrt{3}\). Vérifier que \(A \in \mathscr{S}\).
      2. Déterminer \(\vec{OA} \wedge \vec{OB}\) et montrer que l'équation \(x + y + z = 0\) est une équation du plan \((OAB)\).
      3. Montrer que le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \(\mathscr{S}\) en \(A\).
      📌 Exercice 2 – Nombres complexes
      1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 6z + 34 = 0\).

      2. Dans le plan complexe \((O, \vec{e_1}, \vec{e_2})\), on considère :

        \[ A(3 + 5i), \quad B(3 - 5i), \quad C(7 + 3i). \]

        Soit \(M(z)\) et \(M'(z')\) les images par la translation de vecteur \(\vec{u} = 4 - 2i\).

        1. Montrer que \(z' = z + 4 - 2i\) et que \(C = T(A)\).
        2. Montrer que \(\dfrac{b - c}{a - c} = 2i\).
        3. En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) et que \(BC = 2AC\).
      📌 Exercice 3 – Probabilités

      Une urne contient 6 boules rouges et 3 boules vertes indiscernables.

      1. Calculer la probabilité de tirer 2 rouges et 1 verte (tirage de 3 boules simultanément).
      2. Montrer que \(P(\text{au moins une verte}) = \dfrac{16}{21}\).
      3. Calculer la probabilité de tirer 3 rouges successivement sans remise.
      📌 Problème – Analyse

      Partie I : Étude de la fonction \(g(x) = x - 2 \ln x\)

      La fonction \(g\) est définie sur \(]0, +\infty[\).

        1. Calculer \(g'(x)\).
        2. Montrer que \(g\) est décroissante sur \(]0, 2]\) et croissante sur \([2, +\infty[\).
        3. En déduire que \(g(x) > 0\) pour tout \(x \in ]0, +\infty[\).

      Partie II : Étude de la fonction \(f(x) = x - (\ln x)^2\)

      La fonction \(f\) est définie sur \(]0, +\infty[\). Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

      1. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\) et interpréter géométriquement ce résultat.
        1. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x} = 0\) (on pourra poser \(t = \sqrt{x}\)).
        2. En déduire que : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1. \]
        3. Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - x)\) et en déduire que \((C)\) admet une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d'équation \(y = x\).
        4. Montrer que la courbe \((C)\) est en dessous de la droite \((\Delta)\).
        1. Montrer que \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}\) et que \(f\) est strictement croissante.
        2. Dresser le tableau de variations de \(f\).
        3. Montrer que la tangente à \((C)\) au point d'abscisse \(1\) a pour équation \(y = x\).
        4. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([0, +\infty[\) et que : \[ \frac{1}{e} < \alpha < \frac{1}{2} \] (on admet que \((\ln 2)^2 < \frac{1}{2}\)).
        5. Tracer la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\). (On admet que le point \(I(e, e - 1)\) est un point d'inflexion, et que \(e \approx 2{,}7\)).
        1. Montrer que \(H(x) = x \ln x - x\) est une primitive de \(\ln x\) sur \([1, +\infty[\), puis que : \[ \int_1^e \ln x \, dx = 1. \]
        2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ \int_1^e (\ln x)^2 \, dx = e - 2. \]
        3. Calculer l'aire du domaine plan délimité par :
          • la courbe \((C)\),
          • la droite \((\Delta)\),
          • les droites d'équations \(x = 1\) et \(x = e\).

      Partie III : Étude de la suite \((u_n)\)

      On considère la suite définie par : \[ u_0 = 2, \quad u_{n+1} = f(u_n). \]

      1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(1 < u_n \le 2\).

      (À compléter selon les questions suivantes)

      🔒 Document protégé – Série d'exercices – Mathématiques

  • 2008

    • 📘 Série d'exercices – Mathématiques

      Nombres complexes – Géométrie – Probabilités – Suites – Analyse
      📌 Exercice 1 (3 points) – Nombres complexes
      1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\) l'équation : \[ z^2 - 8z + 17 = 0. \]

      2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{e_1}, \vec{e_2})\), les deux points A et B d'affixes respectives : \(a = 4 + i\) et \(b = 8 + 3i\). Soit \(z\) l'affixe d'un point M du plan et \(z'\) l'affixe du point M' image de M par la rotation R de centre le point \(\Omega\) d'affixe \(\omega = 1 + 2i\) et d'angle \(\frac{3\pi}{2}\).

        1. Montrer que : \(z' = -iz - 1 + 3i\).
        2. Vérifier que l'affixe du point C image du point A par la rotation R est \(c = -i\).
        3. Montrer que : \(b - c = 2(a - c)\) puis en déduire que les points A, B et C sont alignés.
      📌 Exercice 2 (3 points) – Géométrie dans l'espace

      On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), le plan \(P\) d'équation \(x + 2y + z - 1 = 0\) et la sphère \(S\) d'équation : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 2z + 5 = 0. \]

      1. Montrer que le centre de la sphère \(S\) est le point \(I(2, 3, -1)\) et son rayon est 3.
        1. Montrer que la distance du point I au plan \(P\) est \(\sqrt{6}\).
        2. En déduire que le plan \(P\) coupe la sphère \(S\) suivant un cercle \(\Gamma\) de rayon \(\sqrt{3}\).
        1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par I et orthogonale à \(P\).
        2. Montrer que le centre du cercle \(\Gamma\) est le point \(H(1, 1, -2)\).
      📌 Exercice 3 (3 points) – Probabilités

      Une urne contient quatre boules blanches et trois boules rouges (les boules sont indiscernables au toucher). On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.

      1. Quelle est la probabilité de tirer trois boules blanches ?
      2. Montrer que la probabilité de tirer trois boules de même couleur est \(\frac{1}{7}\).
      3. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au moins ?
      📌 Exercice 4 (3 points) – Suites numériques

      Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 3}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).

      1. Montrer que : \(u_n > 1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).

      2. On pose : \(v_n = \frac{u_n - 1}{u_n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\).

        1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{5}\) puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
        2. Montrer que \(u_n = \frac{2}{2 - \left( \frac{3}{5} \right)^n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) puis calculer la limite de la suite \((u_n)\).
      📌 Problème (8 points) – Analyse

      Partie I

      On considère la fonction numérique \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = e^{2x} - 2x\).

      1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis montrer que \(g\) est croissante sur \([0, +\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty, 0]\).
      2. En déduire que \(g(x) > 0\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\). (remarquer que \(g(0) = 1\))

      Partie II

      On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x) = \ln(e^{2x} - 2x). \] Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{I}, \vec{J})\).

        1. Montrer que \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\).
        2. Vérifier que \[ \frac{f(x)}{x} = \frac{e^{2x}}{x} - 2 + \frac{\ln(e^{2x} - 2x)}{e^{2x} - 2x} \] pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^*\).
        3. Montrer que \(\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\) (on rappelle que : \(\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0\)).
        4. En déduire que la courbe \((C)\) admet, au voisinage de \(-\infty\), une branche parabolique dont on précisera la direction.
        1. Pour tout \(x\) de \([0, +\infty[\), vérifier que : \[ 1 - \frac{2x}{e^{2x}} > 0 \text{ et que } 2x + \ln\left(1 - \frac{2x}{e^{2x}}\right) = f(x). \]
        2. En déduire que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) (on rappelle que: \(\lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u} = +\infty\)).
        3. Montrer que la droite \((D)\) d'équation \(y = 2x\) est une asymptote oblique à la courbe \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).
        4. Montrer que : \(f(x) - 2x \leq 0\) pour tout \(x\) de \([0, +\infty[\) et en déduire que \((C)\) est en-dessous de \((D)\) sur l'intervalle \([0, +\infty[\).
        1. Montrer que : \(f'(x) = \frac{2(e^{2x} - 1)}{g(x)}\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).
        2. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) puis dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
      4. Tracer \((D)\) et \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\). (on admet que la courbe \((C)\) a deux points d'inflexion).
      🔒 Document protégé – Série d'exercices – Mathématiques