Exercice 1 – Géométrie dans l'espace :
Dans l'espace rapporté à \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère :
1- les points \(A(0, -1, 1)\) et \(B(1, -1, 0)\),
2- la sphère \(\mathscr{S}\) d’équation :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z + 2 = 0.
\]
1- Montrer que le centre de \(\mathscr{S}\) est \(\Omega(1, 0, 2)\) et que son rayon est \(\sqrt{3}\). Vérifier que \(A \in \mathscr{S}\).
2- Déterminer \(\vec{OA} \wedge \vec{OB}\) et montrer que l’équation \(x + y + z = 0\) est une équation du plan \((OAB)\).
3- Montrer que le plan \((OAB)\) est tangent à la sphère \(\mathscr{S}\) en \(A\).
Exercice 2 – Nombres complexes :
1- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 - 6z + 34 = 0\).
2- Dans le plan complexe \((O, \vec{e_1}, \vec{e_2})\), on considère :
\[
A(3 + 5i), \quad B(3 - 5i), \quad C(7 + 3i).
\]
Soit \(M(z)\) et \(M'(z')\) les images par la translation de vecteur \(\vec{u} = 4 - 2i\).
1- Montrer que \(z' = z + 4 - 2i\) et que \(C = T(A)\).
2- Montrer que \(\dfrac{b - c}{a - c} = 2i\).
3- En déduire que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) et que \(BC = 2AC\).
Exercice 3 – Probabilités :
Une urne contient 6 boules rouges et 3 boules vertes indiscernables.
1- Calculer la probabilité de tirer 2 rouges et 1 verte (tirage de 3 boules simultanément).
2- Montrer que \(P(\text{au moins une verte}) = \dfrac{16}{21}\).
1- Calculer la probabilité de tirer 3 rouges successivement sans remise.
Problème – Analyse :
Partie I : Étude de la fonction \(g(x) = x - 2 \ln x\)}
La fonction \(g\) est définie sur \(]0, +\infty[\).
1-
1-1 Calculer \(g'(x)\).
1-2 Montrer que \(g\) est décroissante sur \(]0, 2]\) et croissante sur \([2, +\infty[\).
1-3 En déduire que \(g(x) > 0\) pour tout \(x \in ]0, +\infty[\).
Partie II : Étude de la fonction \(f(x) = x - (\ln x)^2\)}
La fonction \(f\) est définie sur \(]0, +\infty[\). Soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
2- Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\) et interpréter géométriquement ce résultat.
3-
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
3-1 Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x} = 0\) (on pourra poser \(t = \sqrt{x}\)).
3-2 En déduire que :
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1.
\]
3-3 Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) - x)\) et en déduire que \((C)\) admet une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d’équation \(y = x\).
3-4 Montrer que la courbe \((C)\) est en dessous de la droite \((\Delta)\).
4-
4-1 Montrer que \(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}\) et que \(f\) est strictement croissante.
4-2 Dresser le tableau de variations de \(f\).
4-3 Montrer que la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(1\) a pour équation \(y = x\).
4-4 Montrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans \([0, +\infty[\) et que :
\[
\frac{1}{e} < \alpha < \frac{1}{2}
\]
(on admet que \((\ln 2)^2 < \frac{1}{2}\)).
4-5 Tracer la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\). \\
(On admet que le point \(I(e, e - 1)\) est un point d’inflexion, et que \(e \approx 2{,}7\)).
5-
5-1 Montrer que \(H(x) = x \ln x - x\) est une primitive de \(\ln x\) sur \([1, +\infty[\), puis que :
\[
\int_1^e \ln x \, dx = 1.
\]
5-2 En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[
\int_1^e (\ln x)^2 \, dx = e - 2.
\]
5-3 Calculer l’aire du domaine plan délimité par :
1- la courbe \((C)\),
2- la droite \((\Delta)\),
3- les droites d’équations \(x = 1\) et \(x = e\).
Partie III : Étude de la suite \((u_n)\)}
On considère la suite définie par :
\[
u_0 = 2, \quad u_{n+1} = f(u_n).
\]
1- Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(1
