3. 📚 Exercices corrigés

Racines carrées et calculs – Tronc Commun Sciences BIOF
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✅ Exercice 7

Énoncé : \( A = \sqrt{7} - \sqrt{33} - \sqrt{7} + \sqrt{33} \) et \( B = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \).

1) Déterminer le signe de \( A \) et \( B \).
Pour \( A \) : \( \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0 \) et \( -\sqrt{33} + \sqrt{33} = 0 \), donc \( A = 0 \).
Pour \( B \) : \( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \approx \sqrt{\frac{3 - 2,236}{2}} = \sqrt{\frac{0,764}{2}} = \sqrt{0,382} \approx 0,618 \)
\( \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \approx \sqrt{\frac{3 + 1,732}{2}} = \sqrt{\frac{4,732}{2}} = \sqrt{2,366} \approx 1,538 \)
Donc \( B \approx 0,618 - 1,538 = -0,92 < 0 \) → \( B \) est négatif.
2) Calculer \( A^2 \) et \( B^2 \).
\( A^2 = 0^2 = 0 \)
\( B^2 = \left( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \right)^2 \)
\( B^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{3})}{4}} \)
\( = \frac{6 - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{3})} \)
3) En déduire la valeur de \( A \) et \( B \).
\( A = 0 \) (car addition nulle).
\( B \) est négatif et sa valeur exacte est \( -\sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \).
✅ Exercice 8

Énoncé : Calculer \( B = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{4}}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99 + \sqrt{100}}} \).

On utilise la quantité conjuguée :
\( \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)
Donc chaque terme devient :
\( B = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \)
Tous les termes se simplifient (télescopage) :
\( B = \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9 \)
\( B = 9 \)
✅ Exercice 9

Énoncé : \( n \) est un entier naturel non nul.

1) Déterminer \( a \) et \( b \) tels que \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} \).
\( \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} = \frac{a(n+1) + bn}{n(n+1)} = \frac{(a+b)n + a}{n(n+1)} \)
On identifie avec \( \frac{1}{n(n+1)} \) : \( a+b = 0 \) et \( a = 1 \).
Donc \( a = 1 \), \( b = -1 \).
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)
2) En déduire \( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{99 \times 100} \).
\( A = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) \)
Télescopage : tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier.
\( A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \)
✅ Exercice 10

Énoncé : Développement et simplification.

1) Développer :
\( (\sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5} \)
\( (3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \)
\( (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} \)
2) Simplifier :
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2 \) (car \( \sqrt{5} + 2 > 0 \))
\( \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2} \) (car \( 3 - \sqrt{2} > 0 \))
3) Calculer :
\( A = \frac{1}{\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} - \frac{1}{\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}} \)
On a \( \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt{5} - 2 \) (car \( \sqrt{5} - 2 > 0 \))
\( A = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{-4}{5 - 4} = -4 \)
4) Simplifier :
\( \sqrt{12 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{4 \times 5}} = \sqrt{12 + 4\sqrt{5}} \)
On cherche \( a + b = 12 \) et \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \Rightarrow ab = 20 \)
Les solutions sont \( a = 10 \), \( b = 2 \) (ou inversement)
\( \sqrt{12 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
\( \sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{4 \times 5}} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \)
\( a + b = 9 \), \( ab = 20 \) → \( a = 5 \), \( b = 4 \)
\( \sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2 \) (car \( \sqrt{5} > 2 \))
\( \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} \) : \( a + b = 17 \), \( ab = 30 \) → \( a = 15 \), \( b = 2 \)
\( \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{15} + \sqrt{2} \)
\( \sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} \) : \( a + b = 16 \), \( ab = 63 \) → \( a = 9 \), \( b = 7 \)
\( \sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{9} + \sqrt{7} = 3 + \sqrt{7} \)
✅ Exercice 11

Énoncé : \( X = \sqrt{\frac{12 - \sqrt{23}}{2}} + \sqrt{\frac{12 + \sqrt{23}}{2}} \). Montrer que \( X = \sqrt{\frac{13}{2}} \).

On calcule \( X^2 \) :
\( X^2 = \frac{12 - \sqrt{23}}{2} + \frac{12 + \sqrt{23}}{2} + 2\sqrt{\frac{(12 - \sqrt{23})(12 + \sqrt{23})}{4}} \)
\( X^2 = \frac{24}{2} + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} = 12 + 2\sqrt{\frac{121}{4}} \)
\( X^2 = 12 + 2 \times \frac{11}{2} = 12 + 11 = 23 \)
Donc \( X = \sqrt{23} \) ? Attentions :
\( X^2 = \frac{12 - \sqrt{23}}{2} + \frac{12 + \sqrt{23}}{2} + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} \)
\( = 12 + 2 \times \frac{\sqrt{121}}{2} = 12 + 11 = 23 \)
Or \( X > 0 \), donc \( X = \sqrt{23} \).
Mais l'énoncé dit \( X = \sqrt{\frac{13}{2}} \) ? Vérifions :
\( \sqrt{\frac{13}{2}} = \sqrt{6,5} \approx 2,55 \)
\( \sqrt{23} \approx 4,80 \) — il y a une incohérence.
Reprenons : si \( X = \sqrt{\frac{12 - \sqrt{23}}{2}} + \sqrt{\frac{12 + \sqrt{23}}{2}} \),
\( X^2 = 12 + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} = 12 + 2 \times \frac{11}{2} = 23 \)
Donc \( X = \sqrt{23} \), et non \( \sqrt{13/2} \).
L'énoncé contient probablement une erreur typographique.
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