3. 📚Exercices – Arithmétique dans ℕ

 

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📌 Exercice 13

Soit \( n \) un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que \( n - 3 \) est multiple de 4.

Montrer que le nombre \( n^2 + 6n + 5 \) est multiple de 16.
📌 Exercice 14

Soit \( p \) un nombre premier tel que \( p > 2 \).

1. Montrer que \( p^2 - 1 \) est multiple de 8.
2. En déduire que \( 16 \) divise \( p^4 - 1 \).
📌 Exercice 15

On considère les deux nombres \( x = 1500 \) et \( y = 840 \).

1. Décomposer les nombres \( x \) et \( y \) en facteurs premiers.
2. Déterminer \( x \land y \) et \( x \lor y \).
3. Simplifier les nombres \( \sqrt{x} \) et \( \dfrac{x}{y} \).
📌 Exercice 16

Déterminer toutes les valeurs possibles de l'entier naturel \( n \) tel que

\[ \frac{n + 13}{n + 3} \]

soit un nombre entier naturel.

📌 Exercice 17

Soit \( n \) un entier naturel.

1. a) Développer le nombre : \( (n + 1)^2 - n^2 \).
1. b) En déduire que tout entier naturel impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs.
2. Appliquer le résultat obtenu pour les nombres 19, 47, 53.
📌 Exercice 18
Montrer que pour \( n \in \mathbb{N} : (n + 1) \land (n + 2) = 1 \).
✅ Corrigé
Exercice 13. \( n - 3 = 4k \) ⇒ \( n = 4k + 3 \).
\( n^2 + 6n + 5 = (4k+3)^2 + 6(4k+3) + 5 \)
\( = 16k^2 + 24k + 9 + 24k + 18 + 5 \)
\( = 16k^2 + 48k + 32 = 16(k^2 + 3k + 2) \).
Donc multiple de 16.
Exercice 14 - 1. \( p > 2 \) premier ⇒ \( p \) est impair ⇒ \( p = 2k + 1 \).
\( p^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1) \).
\( k(k+1) \) est pair (produit de deux entiers consécutifs) donc multiple de 2.
Donc \( p^2 - 1 = 8 \times q \) ⇒ multiple de 8.
Exercice 14 - 2. \( p^4 - 1 = (p^2 - 1)(p^2 + 1) \).
\( p^2 - 1 \) multiple de 8 et \( p^2 + 1 \) est pair (car \( p^2 \) impair).
Donc \( p^4 - 1 \) multiple de \( 8 \times 2 = 16 \).
Exercice 15 - 1. \( 1500 = 15 \times 100 = (3 \times 5) \times (10^2) = 3 \times 5 \times (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 3 \times 5^3 \).
\( 840 = 84 \times 10 = (4 \times 21) \times 10 = (2^2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 \).
Exercice 15 - 2. \( x \land y = \text{PGCD} = 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \).
\( x \lor y = \text{PPCM} = 2^3 \times 3 \times 5^3 \times 7 = 21000 \).
Exercice 15 - 3. \( \sqrt{x} = \sqrt{1500} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 5^3} = 2 \times 5 \times \sqrt{3 \times 5} = 10\sqrt{15} \).
\( \frac{x}{y} = \frac{1500}{840} = \frac{150}{84} = \frac{25}{14} \).
Exercice 16. \( \frac{n+13}{n+3} = 1 + \frac{10}{n+3} \in \mathbb{N} \) ⇒ \( n+3 \) divise 10.
\( n+3 \in \{1, 2, 5, 10\} \) mais \( n \in \mathbb{N} \) ⇒ \( n+3 \geq 3 \).
Donc \( n+3 = 5 \) ou \( 10 \) ⇒ \( n = 2 \) ou \( n = 7 \).
Exercice 17 - 1.a. \( (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 \) (nombre impair).
Exercice 17 - 1.b. Tout nombre impair \( 2n+1 \) s'écrit \( (n+1)^2 - n^2 \), différence des carrés de deux entiers consécutifs.
Exercice 17 - 2. \( 19 = 2 \times 9 + 1 = 10^2 - 9^2 \)
\( 47 = 2 \times 23 + 1 = 24^2 - 23^2 \)
\( 53 = 2 \times 26 + 1 = 27^2 - 26^2 \)
Exercice 18. \( n+1 \) et \( n+2 \) sont deux entiers consécutifs, donc premiers entre eux.
\( \text{PGCD}(n+1, n+2) = 1 \).
📌 Exercices d'arithmétique – Tronc Commun Sciences BIOF
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