5. 📚 Exercices – Calcul littéral et puissances

Tronc Commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1:

Soient a et b deux entiers naturels, on pose \( Z = a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1 \).

Écrire Z sous la forme d'une somme de carrés de trois entiers naturels.

📌 Exercice 2:

Soient \( x, y \) et \( z \) des réels non nuls. Simplifier les expressions suivantes :

\[ X = \frac{(x^2y)^{-3}xz^2}{xy^{-3}}, \quad Y = \frac{(-x)^2x^2y}{2y^{-1}}, \quad Z = \frac{(x^2y)^{-3}z^5x^4}{(xy^2)^2y^{-1}}, \quad T = \frac{(-x)^5yz^{-2}}{y^3(-z)^{-3}x^2} \]

📌 Exercice 3:

Développer les expressions suivantes :

\[ A = (x^2 + x + 1)(2x - 5), \quad B = (7x - 3y)^2, \quad C = (x - 1)(x + 2)(x - 2), \quad D = (5a + 3)^3 \] \[ E = (2x - 5y)^3, \quad F = (3 + x + a)^2, \quad G = (2\sqrt{3}p + \sqrt{5q})^3, \quad H = \left(t - \frac{1}{t}\right)^3 \]

📌 Exercice 4:

Factoriser les expressions suivantes :

\[ A = a^2 - 2ab + b^2 - c^2, \quad B = (3x^2 - 3) + (x^2 - 2x + 1), \quad C = x^{16} - 16, \quad D = 2\sqrt{2}x^3 + 27 \] \[ E = x^{12} - 2x^6 + 1, \quad F = x^5 + x^3 - x^2 - 1, \quad I = 125a^3 + 64, \quad J = 2(x + 7)(x + 5) - (x^2 - 25) \] \[ K = 6x(x - 2) - 3x^2 + 12, \quad L = x^3 - 8 - 5(x - 2), \quad M = 64 - (5x - 7)^3, \quad N = (x - 7y)^3 + 27y^3 \] \[ U = x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6, \quad V = x^3 + 1 + 2(x^2 - 1) - (x + 1) \]

📌 Exercice 5:

a est un nombre réel non nul, on pose : \( A = a + \frac{1}{a} \).

Calculer en fonction de \( A \) les nombres suivants :
\[ a^2 + \frac{1}{a^2}, \quad a^3 + \frac{1}{a^3}, \quad a^4 + \frac{1}{a^4} \]

📌 Exercice 6:

Déterminer trois nombres a, b et c tels que :
\[ 2^a \times 3^b \times 5^c = 648000 \]

📌 Exercice 7:

Soient a et b deux nombres réels tels que :

\[ 2(a^2 + b^2) = 5ab \]
Calculer A sachant que : \( A = \frac{a - b}{a + b} \).

📌 Exercice 8:

a, b et c des nombres réels tels que : \( abc = 1 \).

Montrer que :
\[ \frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ca + c + 1} = 1 \]

📌 Exercice 9:

Donner l'écriture scientifique de chacun des nombres suivants :

\[ A = 0,0004651, \quad B = 7560000000, \quad C = 450087 + 23 \times 10^4, \quad D = 0,0018 + 7 \times 10^{-4} \] \[ E = 17,001 \times 10^8, \quad c = 299792458, \quad e = 1602,1892 \times 10^{-22}, \quad g = 980,665 \times 10^{-2} \] \[ u = 166,0565 \times 10^{-29}, \quad N_A = 60220,45 \times 10^{19}, \quad h = 0,6626176 \times 10^{-33} \]

📌 Exercice 10:

Soient a et b deux nombres réels non nuls. Calculer

\[ \frac{a^2b(a^2b-1)^4a^{-3}b^2}{ab^2(a^2b-1)^2(a^2b^3)(a^2b^3)^3} \]
pour \( a = 10^{-3} \) et \( b = -10^{-2} \).
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