Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
📝 Formulaire à retenir :
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
- \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
- \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
4. Calcul vectoriel
Exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF
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📖 Rappel : Propriétés fondamentales
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
Translation : L'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)
✅ Exercice 2
Énoncé : \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Pour \(N\), on construit le parallélogramme \(ACDN\) (car \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\)).
Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).
🔧 Corrigé détaillé
Étape 1 : Décomposons \(\overrightarrow{MN}\) en utilisant la relation de Chasles :
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \]
Étape 2 : \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\). Or \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}\).
\[ \overrightarrow{MA} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) \]
Étape 3 : On sait que \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\), donc :
\[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \]
Étape 4 : On a \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\) (par construction du parallélogramme \(ACDN\)).
Étape 5 : Remplaçons tous les termes :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \end{aligned} \]
Étape 6 : Or \(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\) (d'après Chasles).
✅ Conclusion : \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\)
✅ Exercice 3
Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du plan. On définit \(D\) et \(E\) par :
\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]
Quelle est la nature des quadrilatères \(ABCD\) et \(ACBE\) ?
🔧 Corrigé détaillé
1️⃣ Nature de \(ABCD\) :
On a \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}\).
Or \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}\) (d'après Chasles).
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \]
En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux côtés :
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \]
L'égalité \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont égaux :
- même direction
- même sens
- même longueur
✅ Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
2️⃣ Nature de \(ACBE\) :
On a \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA}\).
Or \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE}\) (d'après Chasles).
De plus, \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\).
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{CA} \]
En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux côtés :
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \]
Or \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\) (d'après Chasles).
\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB} \]
L'égalité \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) signifie que \(AE\) et \(CB\) sont égaux comme vecteurs.
✅ Donc \(ACBE\) est un parallélogramme.
📝 À retenir
• \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
• \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇔ \(ACBE\) parallélogramme
• Translation : image de \(B\) par \(\overrightarrow{AC}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)
• \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇔ \(ACBE\) parallélogramme
• Translation : image de \(B\) par \(\overrightarrow{AC}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)
🔢 Calcul vectoriel – Exercices corrigés