متطلبات الإكمال
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
📝 Formulaire à retenir :
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
- \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
- \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
5. Calcul vectoriel dans le plan
Multiplication d'un vecteur par un réel – Exercices corrigés
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🔹 Rappel sur la différence
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
✅ Exercice 04
Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{j}\).
Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).
🔧 Corrigé détaillé
Étape 1 : \(ABCD\) est un parallélogramme, donc d'après la règle du parallélogramme :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]
Étape 2 : On en déduit \(\overrightarrow{AD}\) :
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i} \]
Étape 3 : Calculons \(\overrightarrow{BD}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\vec{i} + (\vec{j} - \vec{i}) \\ &= \vec{j} - 2\vec{i} \end{aligned} \]
Résultat : \(\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}\) et \(\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}\)
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel
Définition : Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre non nul. Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le nombre \(k\) est le vecteur \(k\vec{u}\) ayant les caractéristiques suivantes :
- même direction que \(\vec{u}\) ;
- même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
- sa norme est \(|k| \times \|\vec{u}\|\).
📐 Illustration : \(\vec{u}\) et \(2\vec{u}\) (même sens, double norme)
Remarques :
- \(k\vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
- \(1\vec{u} = \vec{u}\), \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\).
✅ Exercice 05
Énoncé : \(A, B, C\) trois points du plan non alignés.
On considère \(M, N, P, Q\) tels que :
\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AP}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} \]
- Faire une figure.
- En déduire que \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\).
🔧 Corrigé détaillé
1) Figure :
📍 Points A, B, C non alignés
→ M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
→ N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
→ P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (règle du parallélogramme)
→ Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])
→ M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
→ N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
→ P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (règle du parallélogramme)
→ Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])
2) Démonstration :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \\ &= 2\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) \\ &= 2\overrightarrow{BA} \\ &= -2\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
On obtient donc : \(\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB}\), soit \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\).
De plus, \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) donc \(\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AQ}\).
\[ -\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ} \]
L'égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ}\) signifie que les points \(B\) et \(Q\) sont confondus, donc \(B = Q\).
📐 Propriétés de la multiplication par un réel
Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et les réels \(a\), \(b\) :
- \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
- \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
- \(a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}\)
- \(1\vec{u} = \vec{u}\)
- \(a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}\)
- \((a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}\)
✅ Exercice 06
Énoncé : Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Simplifier :
\[ \overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right) \] \[ \overrightarrow{W_2} = \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v}) + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u} \]
🔧 Corrigé détaillé
Simplification de \(\overrightarrow{W_1}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= (2\vec{u} - 2\vec{u}) + (2\vec{v} + 4\vec{v}) \\ &= 6\vec{v} \end{aligned} \]
Simplification de \(\overrightarrow{W_2}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3} \times 3\vec{u} - \frac{1}{3} \times 9\vec{v} + \frac{1}{2} \times 2\vec{u} + \frac{1}{2} \times 6\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= (\vec{u} + \vec{u} - 2\vec{u}) + (-3\vec{v} + 3\vec{v}) \\ &= \vec{0} \end{aligned} \]
Résultats : \(\overrightarrow{W_1} = 6\vec{v}\) et \(\overrightarrow{W_2} = \vec{0}\)
📝 Formulaire à retenir
• \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) (différence)
• \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
• \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
• \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
• Distributivité : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
• \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
• \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
• \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
• Distributivité : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
🔢 Multiplication d'un vecteur par un réel – Exercices corrigés