📚 Calcul vectoriel dans le plan: Calcul vectoriel dans le plan

A) Généralités sur les vecteurs

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :

sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;

son sens : de \(A\) vers \(B\) ;

sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).

Remarque :

Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).

Somme de deux vecteurs

a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]

b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.

2) Notion de colinéarité

Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).

Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.

\((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
\(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

3) Milieu d’un segment

Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :

\(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
\(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
\(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]

📝 Formulaire à retenir :

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
\(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
\(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)

7. Calcul vectoriel dans le plan

- Tronc commun Sciences BIOF

Rappel exercice 09 :
\(\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
On a montré que \(\overrightarrow{BJ} = 3\overrightarrow{IC}\) donc \((IC) \parallel (BJ)\).

VI) Milieu d’un segment

📌 Propriété 1 : Soient \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes :

\(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
\(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
\(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)

📌 Propriété 2 (Caractérisation du milieu) :
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]

🔍 Démonstration :
(⇒) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
Pour tout \(M\) : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} \end{aligned} \] car \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

(⇐) Si pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\),
en prenant \(M = I\) on obtient \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\), donc \(I\) est le milieu de \([AB]\).

📝 Exercice 10 : Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \]

Faire une figure.
Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).

✅ Corrigé :

📍 Figure : triangle ABC
→ F : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
→ E : \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)
→ C est le milieu de [EF]

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} \quad (1) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} \quad (2) \end{aligned} \] De (1) et (2) : \[ \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} \] Donc \(\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{CF}\), ce qui signifie que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).

📝 À retenir sur le milieu :

\(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
\(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
Pour tout point \(M\) : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)