Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
1. Projection dans le plan
2) Propriétés de la projection
- Chaque point de la droite \((D)\) est confondu avec sa projection (point invariant).
- Si un point est confondu avec sa projection, alors il appartient à \((D)\).
- La droite \((D)\) est globalement invariante par la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
- L'image d'un segment \([AB]\) par la projection \(P\) est le segment \([A'B']\) : \(P([AB])=[A'B']\).
- La projection conserve les milieux.
Remarque : Si les droites \((D)\) et \((\Delta)\) sont perpendiculaires, on parle de projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).
📝 Exercice 01 : Soit \(ABC\) un triangle isocèle de sommet \(A\). \(I\) est le milieu de \([BC]\).
\(J\) est la projection orthogonale de \(I\) sur \((AB)\).
\(K\) est la projection de \(I\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\).
\(J\) est la projection orthogonale de \(I\) sur \((AB)\).
\(K\) est la projection de \(I\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\).
- Faire une figure.
- Déterminer l'image du segment \([BC]\) par la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\).
- Déterminer le milieu du segment \([AC]\).
📐 Triangle isocèle ABC (A sommet)
• A ●
• B ●—————● C
• I milieu de [BC]
• J projection orthogonale de I sur AB
• K projection de I sur AC parallèlement à AB
Figure de l'exercice 01
• A ●
• B ●—————● C
• I milieu de [BC]
• J projection orthogonale de I sur AB
• K projection de I sur AC parallèlement à AB
Figure de l'exercice 01
✅ Corrigé :
- Voir figure ci-dessus.
- Par la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) :
- L'image de \(B\) est \(A\) (car \((AB)\) est la direction, et la parallèle à \((AB)\) passant par \(B\) coupe \((AC)\) en \(A\)).
- \(C\) est sur \((AC)\) donc invariant.
Donc l'image du segment \([BC]\) est le segment \([AC]\). - \(I\) est le milieu de \([BC]\). La projection conserve les milieux, donc l'image de \(I\) par cette projection est le milieu de l'image de \([BC]\), c'est-à-dire le milieu de \([AC]\).
Or l'image de \(I\) est \(K\) (par construction). Donc \(K\) est le milieu du segment \([AC]\).
Autrement dit : \(K\) est le milieu de \([AC]\).
3) Théorème de Thalès (version projective)
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point. Soient \(A, B, C\) trois points alignés tels que \((AB)\) et \((\Delta)\) ne sont pas parallèles. Soient \(A', B', C'\) leurs projetés respectifs sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
- Alors : \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}. \]
- Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}\) avec \(k\in\mathbb{R}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{A'C'}\).
La projection conserve le coefficient d'alignement de trois points. - Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{C'D'}\).
La projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
4) Théorème réciproque de Thalès (version projective)
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites non parallèles à une troisième \((\Delta)\). Soient \(A, B\) deux points de \((D)\) et \(A', B'\) leurs projetés respectifs sur \((D')\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si \(C\) est un point de \((D)\) et \(C'\) un point de \((D')\) tels que \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \] et que les points \(A, B, C\) sont dans le même ordre sur \((D)\) que \(A', B', C'\) sur \((D')\), alors \(C'\) est la projection de \(C\) sur \((D')\) parallèlement à \((\Delta)\) et on a : \[ (AA') \parallel (BB') \parallel (CC'). \]
Si \(C\) est un point de \((D)\) et \(C'\) un point de \((D')\) tels que \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \] et que les points \(A, B, C\) sont dans le même ordre sur \((D)\) que \(A', B', C'\) sur \((D')\), alors \(C'\) est la projection de \(C\) sur \((D')\) parallèlement à \((\Delta)\) et on a : \[ (AA') \parallel (BB') \parallel (CC'). \]