Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
3. Exercice
📝 Exercice 02 : Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) un point défini par : \[ \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \]
- Faire une figure.
- La droite parallèle à \((BC)\) passant par \(D\) coupe \((AC)\) en \(E\).
a) Déterminer \(DE\) en fonction de \(BC\).
b) Montrer que \(\overrightarrow{DE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}\) et que \(\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC}\).
📐 Triangle ABC
• A ●
• B ●—————● C
• D sur (AB) tel que AD = 3/2 AB
• E sur (AC) avec (DE) // (BC)
Figure exercice 02
• A ●
• B ●—————● C
• D sur (AB) tel que AD = 3/2 AB
• E sur (AC) avec (DE) // (BC)
Figure exercice 02
✅ Corrigé :
- Voir figure ci-dessus.
- a) Par le théorème de Thalès (configuration "triangle") : \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. \] Or \(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) donc \(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{2}\).
Par suite \(\frac{DE}{BC} = \frac{3}{2}\), d'où \(DE = \frac{3}{2} BC\).
b) \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires et de même sens, donc : \[ \overrightarrow{DE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}. \] De même, \(\frac{AE}{AC} = \frac{3}{2}\) et \(\overrightarrow{AE}\) a le même sens que \(\overrightarrow{AC}\), donc : \[ \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. \]
📝 Exercice 03 : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point défini par : \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}. \]
- Construire le point \(M'\), projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
- Montrer que \(\overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
✅ Corrigé :
- Soit \(P\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
\(A\) et \(C\) sont sur \((AC)\) donc invariants : \(P(A)=A\), \(P(C)=C\).
\(P(B)=C\) (car la parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\) elle-même, elle coupe \((AC)\) en \(C\)).
Comme \(M\) est sur \([AB]\) et que la projection conserve le coefficient d'alignement, on a : \[ \overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. \] La construction de \(M'\) est donc le point de \((AC)\) tel que \(AM' = \frac{2}{3} AC\) dans le même sens que \(AC\). - On a \(\overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) (prouvé ci-dessus).
Alors : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MM'} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM'} \\ &= -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AM'} \\ &= -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. \end{aligned} \] Donc \(\overrightarrow{MM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).