5. EXERCICES

 

🎯 Objectif : Utiliser les vecteurs dans une figure étoilée

Énoncé : Soit un pentagone régulier ABCDE de centre O. On note :

\[ \vec{u} = \overrightarrow{OA}, \quad \vec{v} = \overrightarrow{OB}, \quad \vec{w} = \overrightarrow{OC} \]

Exprimer \(\overrightarrow{OE}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

Sachant que la somme des vecteurs \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\), en déduire une relation entre \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Dans un pentagone régulier, les sommets sont disposés à 72° les uns des autres.
\[ \overrightarrow{OE} = \text{rotation de } \overrightarrow{OA} \text{ de } -72^\circ \]
Étape 2 : On peut exprimer \(\overrightarrow{OE}\) comme combinaison linéaire :
\[ \overrightarrow{OE} = -\vec{u} - \vec{v} - \vec{w} - \overrightarrow{OD} \]

Mais par symétrie, \(\overrightarrow{OD} = \text{rotation de } \overrightarrow{OC} \text{ de } 72^\circ\).

Étape 3 : En utilisant la condition \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\) et la symétrie du pentagone (\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OE}\)), on obtient :
\[ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0} \]
✅ Corrigé :

Par symétrie du pentagone régulier, on a :

\[ \overrightarrow{OD} = \text{rotation de } \vec{w} \text{ de } 72^\circ, \quad \overrightarrow{OE} = \text{rotation de } \vec{u} \text{ de } -72^\circ \]

La somme nulle donne : \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\).

En utilisant les propriétés de rotation et le fait que la somme des vecteurs d'un pentagone régulier est nulle, on déduit :

\[ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0} \]
 

🎯 Objectif : Maîtriser les barycentres et les vecteurs

Énoncé : Soit ABC un triangle. On considère les points D, E, F définis par :

\[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \]

Démontrer que les droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes.

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Exprimer tous les points en fonction de A, B, C.
\[ D = A + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B \] \[ E = B + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}B + \frac{1}{3}C \] \[ F = C + \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} = \frac{2}{3}C + \frac{1}{3}A \]
Étape 2 : Chercher le point d'intersection G de (AE) et (BF) en résolvant :
\[ G = \alpha A + (1-\alpha)E = \beta B + (1-\beta)F \]
Étape 3 : Identifier les coefficients barycentriques.
\[ G = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{3}C \]

C'est le centre de gravité du triangle ABC.

Étape 4 : Vérifier que G appartient aussi à (CD).
\[ G = \frac{1}{3}C + \frac{2}{3}D \]
✅ Corrigé :

Le point G défini par \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) est le centre de gravité du triangle ABC.

On vérifie successivement :

\[ G \in (AE) \iff \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE} \] \[ G \in (BF) \iff \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BF} \] \[ G \in (CD) \iff \overrightarrow{CG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} \]

Donc les trois droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes au centre de gravité G du triangle ABC.

 

🎯 Objectif : Lier vecteurs et nombres complexes

Énoncé : Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives \(a, b, c\).

Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si :

\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \]

Que devient cette condition en termes vectoriels ?

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont de même longueur et forment un angle de 60°.
\[ |b-a| = |c-a| \quad \text{et} \quad \arg\left(\frac{b-a}{c-a}\right) = \pm\frac{\pi}{3} \]
Étape 2 : En termes complexes, cela équivaut à :
\[ \frac{b-a}{c-a} = e^{\pm i\pi/3} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \]
Étape 3 : En développant et simplifiant, on obtient :
\[ (b-a)^2 + (c-a)^2 = (b-a)(c-a) \]
Étape 4 : En développant, on aboutit à :
\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \]
✅ Corrigé :

La condition \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\) peut se factoriser :

\[ \frac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] = 0 \]

En termes vectoriels, cette condition équivaut à :

\[ \|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 + \|\overrightarrow{CA}\|^2 = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} \]

Ce qui caractérise un triangle équilatéral.

 

🎯 Objectif : Étendre les concepts vectoriels à l'espace

Énoncé : Soit ABCD un tétraèdre. On note I, J, K, L les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [AC], [BD].

Démontrer que les segments [IJ] et [KL] se coupent en leur milieu.

Que peut-on dire des vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) ?

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Utiliser la relation vectorielle du milieu.
\[ \overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}, \quad \overrightarrow{OJ} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} \]
Étape 2 : Calculer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\).
\[ \overrightarrow{IJ} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}}{2} \] \[ \overrightarrow{KL} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}}{2} \]
Étape 3 : Montrer que \(\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \vec{0}\).
\[ \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \frac{(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})}{2} = \vec{0} \]
Étape 4 : En déduire que I et J sont symétriques de K et L par rapport au même point.
✅ Corrigé :

On a montré que \(\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \vec{0}\), donc \(\overrightarrow{IJ} = -\overrightarrow{KL}\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) sont opposés, donc les segments [IJ] et [KL] ont le même milieu.

De plus, \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) sont colinéaires (en fait opposés), donc les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.