Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
7. Vecteurs du plan
Propriétés fondamentales – Tronc commun Sciences BIOF
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📌 Loi 1 – Relation de Chasles
Propriété : Pour trois points A, B, C du plan, on a :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]📖 Interprétation : La somme vectorielle correspond au chemin direct de A à C.
Remarque : Cette relation est fondamentale car elle permet de décomposer un vecteur en une somme de vecteurs.
📌 Loi 2 – Associativité
Propriété : Pour quatre points A, B, C, D du plan, on a :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \]
📖 Interprétation : L'addition vectorielle est associative. L'ordre des vecteurs ne change pas la somme.
Remarque : On peut généraliser à un nombre quelconque de points :
\[ \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A_2} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{AA_n} \]
📌 Loi 3 – Distributivité
Propriété : Pour tout réel \(\alpha\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on a :
\[ \alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \]
📖 Interprétation : La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition vectorielle.
Exemple : Pour \(\alpha = 2\) :
\[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} \]
📌 Loi 4 – Vecteur nul
Propriété : Pour tout point A et B du plan, on a :
\[ \overrightarrow{AA} = \vec{0} \]
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} \]
📖 Interprétation : Le vecteur nul est l'élément neutre de l'addition vectorielle.
📌 Loi 5 – Opposé d'un vecteur
Propriété : Pour tous points A et B, on a :
\[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \]
📖 Interprétation : L'opposé d'un vecteur a la même direction et la même norme, mais le sens contraire.
Conséquence :
\[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} \]
📝 Formulaire à retenir
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Relation de Chasles)
• \(\overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AB}\) (Élément neutre)
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\) (Opposé)
• \(\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}\) (Distributivité)
• \((\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}\) (Distributivité scalaire)
• \(\overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AB}\) (Élément neutre)
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\) (Opposé)
• \(\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}\) (Distributivité)
• \((\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}\) (Distributivité scalaire)
🔢 Vecteurs du plan – Résumé des propriétés fondamentales