Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
8. Orb
Vecteurs en Tronc Commun (TC)
Figures adaptées de la page "IMG_3779.jpg" – Distributivité, soustraction, combinaison linéaire et loi des cosinus.
Distributivité : α(𝐚 + 𝐛) = α𝐚 + α𝐛
α( AB→ + BC→ ) = α AB→ + α BC→
AB + BC = AC
α·AB + α·BC = α·AC
Exemple avec α = 2 – Les triangles sont semblables : géométriquement, AE/AC = AD/AB = 2.
AB + BC = AC
α·AB + α·BC = α·AC
Exemple avec α = 2 – Les triangles sont semblables : géométriquement, AE/AC = AD/AB = 2.
✨ Dans le triangle ABC, on place D sur (AB) tel que AD = 2·AB et E sur (AC) tel que AE = 2·AC. Alors (DE) // (BC) et le triangle ADE est une homothétie de ABC. On vérifie que 2·AB + 2·BC = 2·(AB+BC).
Soustraction vectorielle : 𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + (−𝐛)
AB→ − AC→ = AB→ + (− AC→ )
AB − AC = CB (car AB + CA = CB)
AB − AC = CB (car AB + CA = CB)
📐 Pour soustraire AC de AB, on ajoute le vecteur opposé −AC (même longueur, sens inverse). On construit alors le parallélogramme pour obtenir la différence.
Combinaison linéaire : α·𝐚 + β·𝐛
AB→ , AC→ dans le plan → α AB→ + β AC→ est aussi dans le même plan
Exemple : α = 1,5 β = 0,8
Exemple : α = 1,5 β = 0,8
🔹 Toute combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires reste dans le plan qu'ils définissent. On construit d'abord α·AB (bleu clair), puis β·AC (vert clair), et leur somme (violet).
Relation entre les normes : loi des cosinus
| AB→ + AC→ | = |AB + |AC + 2|AB||AC| cosθ
où θ est l’angle entre AB et AC.
où θ est l’angle entre AB et AC.
📐 Les vecteurs AB, AC et leur somme forment un triangle. La loi des cosinus donne directement la norme de la somme.