Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
9. Ihh
Vecteurs en Tronc Commun (TC)
Adaptation de la page IMG_3780.jpg – Division d’un segment, paramètre λ, décomposition d’un vecteur.
Point X sur la demi-droite [PQ) : λ > 0
OX→ = (1-λ) OP→ + λ OQ→
Avec P et Q deux points, le vecteur position de tout point X de la droite (PQ) s'écrit : X→ =(1-λ)P→ +λQ→. Pour λ > 0, X est sur la demi-droite d’origine P passant par Q.
Avec P et Q deux points, le vecteur position de tout point X de la droite (PQ) s'écrit : X→ =(1-λ)P→ +λQ→. Pour λ > 0, X est sur la demi-droite d’origine P passant par Q.
✨ Interprétation géométrique : Le point X divise le segment PQ dans le rapport λ : (1-λ).
• Si λ ∈ [0,1] : X est entre P et Q.
• Si λ > 1 : X est au-delà de Q.
• Si λ < 0 : X est sur le prolongement opposé (en dehors du rayon).
Sur la figure : P = bleu, Q = vert, X = rouge. Les vecteurs OP, OQ et OX sont affichés.
• Si λ ∈ [0,1] : X est entre P et Q.
• Si λ > 1 : X est au-delà de Q.
• Si λ < 0 : X est sur le prolongement opposé (en dehors du rayon).
Sur la figure : P = bleu, Q = vert, X = rouge. Les vecteurs OP, OQ et OX sont affichés.
Décomposition d’un vecteur : AC→ =AB→ +BC→
Un même vecteur AC peut être décomposé d’une infinité de façons en somme de deux vecteurs. Ici, nous choisissons arbitrairement un point B (déplaçable) pour obtenir AC→ =AB→ +BC→.
🔹 Pour décomposer un vecteur AC, on choisit un point B quelconque (non aligné ou aligné). Alors AB + BC = AC (relation de Chasles). En faisant varier B, on obtient une infinité de décompositions.
Application : deux sphères reliées (exercice)
Deux sphères de masses m₁ et m₂ sont reliées par une tige rigide sans masse. Le système tourne librement autour de son centre de masse.
Le moment cinétique total par rapport au CM est :
L = 2 μ r × voù μ = m1m2 / (m1+m2) est la masse réduite, r le vecteur position de m₁ par rapport à m₂, et v la vitesse de m₁ par rapport au CM.
Cette notion dépasse le programme de TC, mais illustre l’importance des vecteurs en physique.
Remarque : La première figure illustre la paramétrisation d’un rayon (λ > 0). La deuxième montre la décomposition infinie d’un vecteur en deux vecteurs (relation de Chasles). Ces notions sont fondamentales en Tronc Commun.
Identités vectorielles
Illustration de l’identité du triple produit vectoriel :
a × (b × c) = (a ⋅ c) b - (a ⋅ b) cVisualisation géométrique
a (bleu), b (vert), c (rouge)
a×(b×c) (violet) = (a·c)b − (a·b)c (orange)
a×(b×c) (violet) = (a·c)b − (a·b)c (orange)
✨ Le vecteur a×(b×c) est toujours dans le plan formé par b et c et perpendiculaire à a. L’identité le décompose comme une combinaison linéaire de b et c. Les curseurs ci-dessous permettent de modifier a, b, c.
a : x: y: z:
b : x: y: z:
c : x: y: z:
Preuve algébrique (composantes)
En notation de Levi-Civita :
[a×(b×c)]i = εijk aj (b×c)k = εijk εklm aj bl cm
= (δilδjm − δimδjl) aj bl cm = aj cj bi − aj bj ci
= (a·c) bi − (a·b) ci.
[a×(b×c)]i = εijk aj (b×c)k = εijk εklm aj bl cm
= (δilδjm − δimδjl) aj bl cm = aj cj bi − aj bj ci
= (a·c) bi − (a·b) ci.
Cette identité est fondamentale en physique (moment cinétique, force de Lorentz, etc.).
Remarque : L’identité du triple produit vectoriel est illustrée ici avec des vecteurs quelconques (modifiables par curseurs). La projection 3D→2D utilise un angle de vue réglable. Les flèches oranges et violettes coïncident parfaitement (aux erreurs d’arrondi près).