Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
10. Hdhd
📐 Exercices vectoriels : lignes, combinaisons et courbe
Faites varier les curseurs et observez les vecteurs en direct.
✏️ Exercice 1 – Point sur une droite (paramètre λ)
Soient deux points fixes A et B. Pour tout réel λ, on définit le point X par :
\overrightarrow{OX} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}ou encore AX→ = \lambda \overrightarrow{AB}.
🔵 A (bleu) | 🟢 B (vert) | 🔴 X (rouge)
➡️ Si λ > 0, X est sur la demi-droite [AB) ; si λ ∈ ]0,1[ entre A et B ; si λ > 1 au-delà de B ; si λ < 0 de l’autre côté de A. Le vecteur AX = λ·AB est toujours colinéaire à AB.
➡️ Si λ > 0, X est sur la demi-droite [AB) ; si λ ∈ ]0,1[ entre A et B ; si λ > 1 au-delà de B ; si λ < 0 de l’autre côté de A. Le vecteur AX = λ·AB est toujours colinéaire à AB.
✏️ Exercice 2 – Combinaison linéaire α a + β b
À partir de l’origine O, on place deux vecteurs libres a et b. On construit le vecteur v = α·a + β·b.
a : x y
b : x y
🟦 a (bleu) | 🟩 b (vert) | 🟪 α·a (violet) | 🟧 β·b (orange) | 🔴 v = αa + βb (rouge)
On visualise la règle du parallélogramme. Toute combinaison linéaire reste dans le plan défini par a et b.
On visualise la règle du parallélogramme. Toute combinaison linéaire reste dans le plan défini par a et b.
✏️ Exercice 3 – Courbe paramétrée et vecteur tangent
Soit la courbe C définie par M(t) = (t, t24) (parabole).
Pour chaque instant t, on affiche le vecteur vitesse (tangent) : v→(t)=(1, t/2).
📈 Courbe (parabole) en gris. 🔵 Point M(t) en bleu. 🟠 Vecteur tangent (vitesse) en orange. Le vecteur tangent est proportionnel à la dérivée de la position. Faites varier t pour voir l’évolution de la tangente.