Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
11. Hdh
📐 Exercices vectoriels avancés (niveau supérieur)
Combinaisons, décomposition non orthogonale, courbes gauches et barycentres.
✏️ Exercice 4 – Décomposition vectorielle dans une base oblique
Soient deux vecteurs u et v non colinéaires (base du plan). Pour tout vecteur w, il existe des scalaires uniques α, β tels que :
\mathbf{w} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}Déplacez les extrémités de u, v et w (tous partent de l'origine). Les coefficients α, β sont calculés en temps réel (résolution d’un système 2×2).
u : x y
v : x y
w : x y
🟦 u (bleu) | 🟩 v (vert) | 🔴 w (rouge) | 🟣 α·u (violet) | 🟠 β·v (orange) | La somme αu+βv (rouge clair) doit coïncider avec w.
✏️ Exercice 5 – Courbe paramétrée 3D : hélice circulaire
Courbe M(t) = (cos t, sin t, t/3). Projection 3D→2D avec angle variable. Affichage du vecteur tangent T(t) et du vecteur normal principal N(t).
🌀 Courbe (hélice) en gris. 🔵 Point M(t). 🟠 Vecteur tangent (dérivée). 🟣 Vecteur normal (accélération normale).
Formules : T(t) = (-sin t, cos t, 1/3) ; N(t) = (-cos t, -sin t, 0) (normalisé approximativement).
Formules : T(t) = (-sin t, cos t, 1/3) ; N(t) = (-cos t, -sin t, 0) (normalisé approximativement).
✏️ Exercice 6 – Barycentre et combinaison convexe
Soit un triangle ABC. Tout point M du plan s'écrit de façon unique : AM→ = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β). Ici on force α,β ≥ 0 et α+β ≤ 1 : alors M est à l'intérieur du triangle.
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 Triangle ABC (bleu). 🔴 Point M = A + α·AB + β·AC. Les curseurs garantissent α,β ≥0 et α+β ≤1 → M reste à l'intérieur ou sur le bord.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β).
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β).