Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
12. Ydh
📐 5 exercices : lois vectorielles fondamentales
Relation de Chasles, distributivité, loi du parallélogramme, associativité, loi des cosinus.
✏️ Loi 1 – Relation de Chasles
Pour trois points A, B, C : AB→ + BC→ = AC→.
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 AB (bleu) + 🟩 BC (vert) = 🔴 AC (rouge). La somme vectorielle correspond au chemin direct de A à C.
✏️ Loi 2 – Distributivité : α·(a + b) = α·a + α·b
Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire α.
a : x y
b : x y
🟦 a + b (cyan) | 🟠 α·(a+b) (orange) | 🟣 α·a (violet) + 🟢 α·b (vert clair) = orange. Les deux constructions coïncident → vérification de la distributivité.
✏️ Loi 3 – Règle du parallélogramme
La somme de deux vecteurs a et b est la diagonale du parallélogramme construit sur a et b.
a : x y
b : x y
🟦 a (bleu) | 🟩 b (vert) | 🔴 a+b (rouge) diagonale. Les côtés opposés sont parallèles et égaux.
✏️ Loi 4 – Associativité : (a+b)+c = a+(b+c)
L’ordre d’addition de trois vecteurs n’a pas d’importance.
a : x y
b : x y
c : x y
🟠 (a+b)+c (orange) | 🟣 a+(b+c) (violet) – les deux résultantes coïncident.
✏️ Loi 5 – Norme de la somme : |a+b|² = |a|²+|b|²+2|a||b|cosθ
Angle θ entre a et b.
a (bleu), b (vert), a+b (rouge). La norme calculée géométriquement (loi des cosinus) s’affiche ci-dessous.