Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
14. Udv
✏️ Correction d’exercices vectoriels
Toutes les formules sont écrites en MathML. Les figures illustrent les calculs.
📐 Sommes et différences de vecteurs
D’après la relation de Chasles : AB→+BC→=AC→
a) AM→+MN→
= \mover>AN→b) MP→+AM→
= \mover>AM→+MP→=\mover>AP→c) OP→+KO→+NK→
= \mover>KO→+OP→+NK→ =\mover>KP→+NK→ =\mover>NK→+KP→=\mover>NP→d) MN→+NM→
= \mover>MM→=\mover>0→e) MO→+PM→+OP→
= \mover>MO→+OP→+PM→ =\mover>MP→+PM→ =\mover>MM→=\mover>0→f) KN→-ON→+OK→
= \mover>KN→+NO→+OK→ =\mover>KO→+OK→ =\mover>KK→=\mover>0→📐 Propriété caractéristique du parallélogramme
Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que :
\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→Démonstration :
\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \quad\Longleftrightarrow\quad \mover>AD→ + \mover>DC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \Longrightarrow\quad \mover>DC→ = \mover>AB→Ce qui est la condition vectorielle du parallélogramme.
🔵 A, 🟢 B, 🔴 C, 🟡 D – Les vecteurs AB→ (bleu) et AD→ (vert) ont pour somme la diagonale AC→ (rouge).
📐 Soustraction de deux vecteurs
On utilise l’opposé : u→-v→=u→+(-v→).
⬅️ À gauche : u→ (bleu) et v→ (vert).
➡️ À droite : u→-v→ (rouge) = u→+(-v→) où -v→ est en pointillé orange.
➡️ À droite : u→-v→ (rouge) = u→+(-v→) où -v→ est en pointillé orange.