Soit \( n \) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants : \[ a = 4n^2 + 2n + 3 \quad ; \quad b = 2^{2021} + 3^{2022} \quad \text{et} \quad c = 5^n + 1 \]

Soit \( n \) un entier naturel. Montrer que le nombre : \[ 3^{n+2} + 3^n \quad \text{est multiple de 5} \]

Donner tous les diviseurs positifs non premiers du nombre 102.

Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 7752.

Déterminer tous les entiers naturels \( x \) et \( y \) tels que \[ (x - 2)(y - 5) = 22 \]

Le nombre 323 est-il premier ? Justifier.

On pose : \[ a = 2^2 \times 3 \times 7 + 2^5 \times 3 \quad \text{et} \quad b = 168 \]

Sans calcul, déterminer la parité de \( a \).

Montrer que : \[ a = 2^2 \times 3^2 \times 5 \quad \text{et} \quad b = 2^3 \times 3 \times 7 \]

Calculer : \[ \text{PGCD}(a, b) \quad \text{et} \quad \text{PPCM}(a, b) \]

Simplifier : \[ \frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \sqrt{ab} \]

Montrer que \( 5a \) est un carré parfait.

\( ABC \) un triangle. I, J et K trois points du plan tels que : \[ \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AK} = 2 \overrightarrow{AC} \]

Construire la figure.

Montrer que : \[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et}

\quad \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{BC} \]

Montrer que : \[ 3 \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{0} \]

En déduire que les points I, J et K sont alignés.

On considère le point H tel que : \[ \overrightarrow{AH} = 2 \overrightarrow{AJ} \]

Placer le point H sur la figure.

Déterminer la nature du quadrilatère \( ABHC \).

En déduire que les deux droites \( (BH) \) et \( (AK) \) sont parallèles.

Soit \( n \) un entier naturel. On pose : \[ A = 4n^2 + 12n + 9 \]

Montrer que : \[ n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2) \]

Montrer que \( A - 1 \) est multiple de 8.