Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1

📖 Énoncé

Comparer les nombres \(A\) et \(B\) dans les cas suivants :

  1. \(A = 1 + 3\sqrt{2}\); \(B = 3\sqrt{3}\)
  2. \(A = -5\sqrt{3}\); \(B = -6\sqrt{2}\)
  3. \(A = \frac{x}{x+1}\); \(B = \frac{y}{y+1}\) \((0 < x < y)\)
  4. \(A = \frac{x^2 + x}{x^2 + x + 1}\); \(B = \frac{y^2 + y}{y^2 + y + 1}\) \((0 < x < y)\)
  5. \(A = \sqrt{a - b}\); \(B = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) \((0 < b < a)\)
✅ Corrigé
  1. \((1+3\sqrt{2})^2 = 1 + 6\sqrt{2} + 18 = 19 + 6\sqrt{2} \approx 19 + 8,48 = 27,48\)
    \((3\sqrt{3})^2 = 27\) donc \(A^2 > B^2\) et \(A > B\).
  2. \(A = -5\sqrt{3} \approx -8,66\); \(B = -6\sqrt{2} \approx -8,48\) donc \(A < B\).
  3. \(f(t) = \frac{t}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1}\) est croissante, donc \(A < B\).
  4. \(g(t) = \frac{t^2+t}{t^2+t+1} = 1 - \frac{1}{t^2+t+1}\) est croissante, donc \(A < B\).
  5. \((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} < a - b\) donc \(\sqrt{a} - \sqrt{b} < \sqrt{a-b}\).

📌 Exercice 2

📖 Énoncé

Soient :

\[ A = 3\sqrt{18} - \sqrt{72} + 2\sqrt{\frac{9}{2}} \quad \text{et} \quad B = \sqrt{28} + \sqrt{32} - 2\sqrt{2} \]
  1. Montrer que \(A - B = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{7}\).
  2. Comparer \(A\) et \(B\).
✅ Corrigé

\(A = 3 \times 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)

\(B = 2\sqrt{7} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}\)

\(A - B = 6\sqrt{2} - (2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{7}\)

\(4\sqrt{2} \approx 5,66\) et \(2\sqrt{7} \approx 5,29\) donc \(A > B\).

📌 Exercice 3

📖 Énoncé

On considère \(a = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}\) et \(b = \sqrt{39} - 12\sqrt{10}\).

  1. Montrer que \(a \geq 0\).
  2. Calculer \(a^2\) et \(b^2\).
  3. Comparer \(a\) et \(b\) puis \(\frac{1}{a}\) et \(\frac{1}{b}\).
✅ Corrigé

\(a = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2} \approx 4,47 - 4,24 = 0,23 \geq 0\)

\(a^2 = (2\sqrt{5} - 3\sqrt{2})^2 = 20 + 18 - 12\sqrt{10} = 38 - 12\sqrt{10}\)

\(b = \sqrt{39 - 12\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{24} - \sqrt{15})^2} = \sqrt{24} - \sqrt{15}\)

\(a \approx 0,23\), \(b \approx 0,22\) donc \(a > b\) et \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\).

📌 Exercice 4

📖 Énoncé

Soient \(a \geq 2\) et \(b \geq 2\). On pose \(x = \sqrt{a} + \sqrt{b}\) et \(y = \sqrt{ab} + 1\).

  1. Montrer que \(x^2 - y^2 = (a-1)(1-b)\).
  2. Comparer \(x\) et \(y\).
  3. Comparer \(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1\) et \(\sqrt{6}\).
✅ Corrigé

\(x^2 - y^2 = a + b + 2\sqrt{ab} - (ab + 1 + 2\sqrt{ab}) = a + b - ab - 1 = (a-1)(1-b)\)

\((a-1)(1-b) \leq 0\) car \(a-1 \geq 1\) et \(1-b \leq -1\) donc \(x^2 - y^2 \leq 0\) ⇒ \(x \leq y\).

Pour \(a=3\), \(b=2\) : \(\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1 \leq \sqrt{6} + 1 \leq \sqrt{6} + 1\)

📌 Exercice 5

📖 Énoncé

Soient \(x > 0\), \(y > 0\) tels que \(x^2 + y^2 = 2\).

  1. Montrer que \((x+y)^2 = 2(1 + xy)\).
  2. En déduire que \(x + y > \sqrt{2}\).
✅ Corrigé

\((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2 + 2xy = 2(1 + xy)\)

Comme \(xy > 0\), \(1 + xy > 1\) ⇒ \((x+y)^2 > 2\) ⇒ \(x + y > \sqrt{2}\).

📌 Exercice 6

📖 Énoncé
  1. Soit \(a \geq 1\). Montrer que \(a^2 \geq a\).
  2. Soient \(x \geq 1\) et \(y \geq 1\). Montrer que \(x + y \leq 2xy\).
✅ Corrigé

\(a^2 - a = a(a-1) \geq 0\) car \(a \geq 1\)

\(2xy - (x+y) = xy - x + xy - y = x(y-1) + y(x-1) \geq 0\)

📌 Exercice 7

📖 Énoncé

Montrer que pour tous réels \(x, y\) :

\[ x^2 + y^2 \geq 2xy;\quad (x+y)^2 \geq 4xy; \quad \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \leq \frac{x^2 + y^2}{2} \]
✅ Corrigé

\(x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 \geq 0\)

\((x+y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = (x-y)^2 \geq 0\)

\(\frac{x^2+y^2}{2} - \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \frac{2x^2+2y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{4} = \frac{(x-y)^2}{4} \geq 0\)

📌 Exercice 8

📖 Énoncé

Soient \(x > 0\) et \(y > 0\). Montrer que :

\[ x + y \geq 2\sqrt{xy}; \quad \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \]
✅ Corrigé

\((\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0 \Rightarrow x + y - 2\sqrt{xy} \geq 0\)

\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} \geq 0\)

📌 Exercice 9

📖 Énoncé

Soient \(a, b, c\) trois réels. On pose \(A = a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc\).

  1. Montrer que \(2A = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\).
  2. En déduire que \(ab + ac + bc \leq a^2 + b^2 + c^2\).
✅ Corrigé

\(2A = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = (a^2-2ab+b^2) + (a^2-2ac+c^2) + (b^2-2bc+c^2)\)

\(2A = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \geq 0\) ⇒ \(A \geq 0\) ⇒ \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc\)

📌 Exercice 10

📖 Énoncé

Soient \(3 \leq a \leq 9\) et \(2 \leq b \leq 7\). Encadrer :

\[ a+b;\quad a-b;\quad 2a+3b;\quad 2a-5b;\quad \frac{a}{b}; \quad \frac{2a+3b}{2a-5b};\quad a^2+b^2 \]
✅ Corrigé
  • \(a+b \in [5, 16]\)
  • \(a-b \in [-4, 7]\)
  • \(2a+3b \in [12, 39]\)
  • \(2a-5b \in [-29, 8]\)
  • \(\frac{a}{b} \in [\frac{3}{7}, \frac{9}{2}]\)
  • \(a^2+b^2 \in [13, 130]\)