ENI09: equations et inéquations

Équations et inéquations et systèmes

Partie 1 - Premier degré à une inconnue

📌 Présentation globale

Ce chapitre est consacré à la résolution d'équations et d'inéquations du premier degré à une inconnue. Vous apprendrez à résoudre différents types d'équations : linéaires, produits, quotients, avec valeurs absolues, etc.

🎯 Objectifs du chapitre :

Résoudre une équation du premier degré ax + b = 0
Résoudre une inéquation du premier degré
Maîtriser les équations produits et quotients
Résoudre des équations avec valeurs absolues

I) Les équations et les inéquations du premier degré à une inconnue

1°) Les équations du premier degré à une inconnue

📌 Définition :

On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation de la forme :

\[ ax + b = 0 \]

où les coefficients \(a\) et \(b\) sont des réels donnés et \(x\) est l'inconnue.
Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble de toutes les solutions noté \(S\).

🔹 Cas particuliers :

Si \(a \neq 0\), l'équation admet une unique solution : \(x = -\frac{b}{a}\)
Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l'équation \(0x + b = 0\) est impossible → \(S = \emptyset\)
Si \(a = 0\) et \(b = 0\), l'équation \(0x + 0 = 0\) est vérifiée pour tout \(x\) → \(S = \mathbb{R}\)

2°) Exemples corrigés

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

📝 Liste des équations

\(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
\(3(2x + 5) = 6x - 1\)
\(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
\((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
\(x^2 - 100 = 0\)
\(\frac{3}{x + 2} - \frac{5}{x - 2} = 0\)
\(\frac{(x - 7)(x + 3)}{x^2 - 9} = 0\)
\(\frac{4x + 2}{x - 3} = 5\)
\(|7x - 10| = |6 + 3x|\)
\(x^3 - 7x = 0\)

✅ Corrigé détaillé

1) \(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
\(x + x\sqrt{2} = -3 - \sqrt{18}\)
\(x(1 + \sqrt{2}) = -3 - 3\sqrt{2}\)
\(x = \dfrac{-3 - 3\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{-3(1 + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = -3\)
Donc \(\boxed{S = \{-3\}}\)

2) \(3(2x + 5) = 6x - 1\)
\(6x + 15 = 6x - 1\)
\(6x - 6x = -1 - 15\)
\(0x = -16\) → impossible
Donc \(\boxed{S = \emptyset}\)

3) \(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
\(4x - 8 = 6x - 2x - 8\)
\(4x - 8 = 4x - 8\)
\(0 = 0\) → tous les réels sont solutions
Donc \(\boxed{S = \mathbb{R}}\)

4) \((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
Factorisation : \((2x + 3)[(2x + 3) - (x - 4)] = 0\)
\((2x + 3)(x + 7) = 0\)
\(2x + 3 = 0\) ou \(x + 7 = 0\)
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ou \(x = -7\)
Donc \(\boxed{S = \left\{-7; -\dfrac{3}{2}\right\}}\)

5) \(x^2 - 100 = 0\)
\(x^2 - 10^2 = 0\) → identité remarquable \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
\((x - 10)(x + 10) = 0\)
\(x - 10 = 0\) ou \(x + 10 = 0\)
\(x = 10\) ou \(x = -10\)
Donc \(\boxed{S = \{-10; 10\}}\)

6) \(\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{5}{x - 2} = 0\)
Valeurs interdites : \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) et \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Domaine de définition : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\)
Dénominateur commun : \((x+2)(x-2)\)
\(\dfrac{3(x-2) - 5(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 0\)
\(\dfrac{3x - 6 - 5x - 10}{(x+2)(x-2)} = 0\)
\(\dfrac{-2x - 16}{(x+2)(x-2)} = 0\)
\(-2x - 16 = 0 \Rightarrow x = -8\) (appartient à \(D_E\))
Donc \(\boxed{S = \{-8\}}\)

7) \(\dfrac{(x - 7)(x + 3)}{x^2 - 9} = 0\)
\(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\)
Valeurs interdites : \(-3\) et \(3\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\)
\((x - 7)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 7\) ou \(x = -3\)
\(x = 7 \in D_E\) ; \(x = -3 \notin D_E\) (valeur interdite)
Donc \(\boxed{S = \{7\}}\)

8) \(\dfrac{4x + 2}{x - 3} = 5\)
Valeur interdite : \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{3\}\)
\(4x + 2 = 5(x - 3)\)
\(4x + 2 = 5x - 15\)
\(4x - 5x = -15 - 2\)
\(-x = -17 \Rightarrow x = 17 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{17\}}\)

9) \(|7x - 10| = |6 + 3x|\)
Équivaut à : \(7x - 10 = 6 + 3x\) ou \(7x - 10 = -(6 + 3x)\)
Premier cas : \(7x - 3x = 6 + 10 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4\)
Deuxième cas : \(7x - 10 = -6 - 3x \Rightarrow 7x + 3x = -6 + 10 \Rightarrow 10x = 4 \Rightarrow x = \dfrac{2}{5}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{\dfrac{2}{5}; 4\right\}}\)

10) \(x^3 - 7x = 0\)
\(x(x^2 - 7) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x^2 - 7 = 0 \Rightarrow x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm \sqrt{7}\)
Donc \(\boxed{S = \{-\sqrt{7}; 0; \sqrt{7}\}}\)