Équations et inéquations et systèmes
Partie 1 - Premier degré à une inconnue
📌 Présentation globale
Ce chapitre est consacré à la résolution d'équations et d'inéquations du premier degré à une inconnue. Vous apprendrez à résoudre différents types d'équations : linéaires, produits, quotients, avec valeurs absolues, etc.
🎯 Objectifs du chapitre :
- Résoudre une équation du premier degré ax + b = 0
- Résoudre une inéquation du premier degré
- Maîtriser les équations produits et quotients
- Résoudre des équations avec valeurs absolues
I) Les équations et les inéquations du premier degré à une inconnue
1°) Les équations du premier degré à une inconnue
📌 Définition :
On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation de la forme :
\[ ax + b = 0 \]
où les coefficients \(a\) et \(b\) sont des réels donnés et \(x\) est l'inconnue.
Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble de toutes les solutions noté \(S\).
🔹 Cas particuliers :
- Si \(a \neq 0\), l'équation admet une unique solution : \(x = -\frac{b}{a}\)
- Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l'équation \(0x + b = 0\) est impossible → \(S = \emptyset\)
- Si \(a = 0\) et \(b = 0\), l'équation \(0x + 0 = 0\) est vérifiée pour tout \(x\) → \(S = \mathbb{R}\)
2°) Exemples corrigés
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
📝 Équations fondamentales
- \(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
- \(3(2x + 5) = 6x - 1\)
- \(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
- \((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
- \(x^2 - 100 = 0\)
- \(\frac{3}{x + 2} - \frac{5}{x - 2} = 0\)
- \(\frac{(x - 7)(x + 3)}{x^2 - 9} = 0\)
- \(\frac{4x + 2}{x - 3} = 5\)
- \(|7x - 10| = |6 + 3x|\)
- \(x^3 - 7x = 0\)
✅ Corrigé détaillé
1) \(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
\(x + x\sqrt{2} = -3 - \sqrt{18}\)
\(x(1 + \sqrt{2}) = -3 - 3\sqrt{2}\)
\(x = \dfrac{-3 - 3\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{-3(1 + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = -3\)
Donc \(\boxed{S = \{-3\}}\)
\(x + x\sqrt{2} = -3 - \sqrt{18}\)
\(x(1 + \sqrt{2}) = -3 - 3\sqrt{2}\)
\(x = \dfrac{-3 - 3\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{-3(1 + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = -3\)
Donc \(\boxed{S = \{-3\}}\)
2) \(3(2x + 5) = 6x - 1\)
\(6x + 15 = 6x - 1\)
\(6x - 6x = -1 - 15\)
\(0x = -16\) → impossible
Donc \(\boxed{S = \emptyset}\)
\(6x + 15 = 6x - 1\)
\(6x - 6x = -1 - 15\)
\(0x = -16\) → impossible
Donc \(\boxed{S = \emptyset}\)
3) \(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
\(4x - 8 = 6x - 2x - 8\)
\(4x - 8 = 4x - 8\)
\(0 = 0\) → tous les réels sont solutions
Donc \(\boxed{S = \mathbb{R}}\)
\(4x - 8 = 6x - 2x - 8\)
\(4x - 8 = 4x - 8\)
\(0 = 0\) → tous les réels sont solutions
Donc \(\boxed{S = \mathbb{R}}\)
4) \((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
Factorisation : \((2x + 3)[(2x + 3) - (x - 4)] = 0\)
\((2x + 3)(x + 7) = 0\)
\(2x + 3 = 0\) ou \(x + 7 = 0\)
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ou \(x = -7\)
Donc \(\boxed{S = \left\{-7; -\dfrac{3}{2}\right\}}\)
Factorisation : \((2x + 3)[(2x + 3) - (x - 4)] = 0\)
\((2x + 3)(x + 7) = 0\)
\(2x + 3 = 0\) ou \(x + 7 = 0\)
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ou \(x = -7\)
Donc \(\boxed{S = \left\{-7; -\dfrac{3}{2}\right\}}\)
5) \(x^2 - 100 = 0\)
\(x^2 - 10^2 = 0\) → \((x-10)(x+10) = 0\)
\(x = 10\) ou \(x = -10\)
Donc \(\boxed{S = \{-10; 10\}}\)
\(x^2 - 10^2 = 0\) → \((x-10)(x+10) = 0\)
\(x = 10\) ou \(x = -10\)
Donc \(\boxed{S = \{-10; 10\}}\)
6) \(\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{5}{x-2} = 0\)
Valeurs interdites : \(x = -2\) et \(x = 2\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\)
\(\dfrac{3(x-2) - 5(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 0\) → \(\dfrac{-2x - 16}{(x+2)(x-2)} = 0\)
\(-2x - 16 = 0 \Rightarrow x = -8 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{-8\}}\)
Valeurs interdites : \(x = -2\) et \(x = 2\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\)
\(\dfrac{3(x-2) - 5(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 0\) → \(\dfrac{-2x - 16}{(x+2)(x-2)} = 0\)
\(-2x - 16 = 0 \Rightarrow x = -8 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{-8\}}\)
7) \(\dfrac{(x-7)(x+3)}{x^2-9} = 0\)
Valeurs interdites : \(x = 3\) et \(x = -3\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\)
\((x-7)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 7\) ou \(x = -3\)
\(x = 7 \in D_E\) ; \(x = -3 \notin D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{7\}}\)
Valeurs interdites : \(x = 3\) et \(x = -3\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\)
\((x-7)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 7\) ou \(x = -3\)
\(x = 7 \in D_E\) ; \(x = -3 \notin D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{7\}}\)
8) \(\dfrac{4x+2}{x-3} = 5\)
Valeur interdite : \(x = 3\)
\(4x+2 = 5(x-3) \Rightarrow 4x+2 = 5x-15\)
\(-x = -17 \Rightarrow x = 17 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{17\}}\)
Valeur interdite : \(x = 3\)
\(4x+2 = 5(x-3) \Rightarrow 4x+2 = 5x-15\)
\(-x = -17 \Rightarrow x = 17 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{17\}}\)
9) \(|7x-10| = |6+3x|\)
\(7x-10 = 6+3x\) ou \(7x-10 = -(6+3x)\)
\(4x = 16\) ou \(10x = 4\)
\(x = 4\) ou \(x = \dfrac{2}{5}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{\dfrac{2}{5}; 4\right\}}\)
\(7x-10 = 6+3x\) ou \(7x-10 = -(6+3x)\)
\(4x = 16\) ou \(10x = 4\)
\(x = 4\) ou \(x = \dfrac{2}{5}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{\dfrac{2}{5}; 4\right\}}\)
10) \(x^3 - 7x = 0\)
\(x(x^2 - 7) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x^2 = 7\)
\(x = 0\) ou \(x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\)
Donc \(\boxed{S = \{-\sqrt{7}; 0; \sqrt{7}\}}\)
\(x(x^2 - 7) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x^2 = 7\)
\(x = 0\) ou \(x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\)
Donc \(\boxed{S = \{-\sqrt{7}; 0; \sqrt{7}\}}\)
3°) Exercices supplémentaires
📌 Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \((3x+1)(2x-1) - 4x^2 + 1 = 0\)
- \(x^3 + 27 + 2(x^2 - 9) - 3x - 9 = 0\)
- \(\dfrac{\sqrt{2}x - 1}{x - 1} = \dfrac{2x - 2}{\sqrt{2}x - 2}\)
✅ Corrigé de l'exercice 1
1) \((3x+1)(2x-1) - 4x^2 + 1 = 0\)
\((3x+1)(2x-1) - (4x^2 - 1) = 0\)
\((3x+1)(2x-1) - (2x-1)(2x+1) = 0\)
\((2x-1)[(3x+1) - (2x+1)] = 0\)
\((2x-1)(3x+1-2x-1) = 0\)
\((2x-1)(x) = 0\)
\(x = 0\) ou \(2x-1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{0; \dfrac{1}{2}\right\}}\)
\((3x+1)(2x-1) - (4x^2 - 1) = 0\)
\((3x+1)(2x-1) - (2x-1)(2x+1) = 0\)
\((2x-1)[(3x+1) - (2x+1)] = 0\)
\((2x-1)(3x+1-2x-1) = 0\)
\((2x-1)(x) = 0\)
\(x = 0\) ou \(2x-1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{0; \dfrac{1}{2}\right\}}\)
2) \(x^3 + 27 + 2(x^2 - 9) - 3x - 9 = 0\)
\(x^3 + 27 + 2x^2 - 18 - 3x - 9 = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - 3x + (27 - 18 - 9) = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - 3x + 0 = 0\)
\(x(x^2 + 2x - 3) = 0\)
\(x(x + 3)(x - 1) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = -3\) ou \(x = 1\)
Donc \(\boxed{S = \{-3; 0; 1\}}\)
\(x^3 + 27 + 2x^2 - 18 - 3x - 9 = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - 3x + (27 - 18 - 9) = 0\)
\(x^3 + 2x^2 - 3x + 0 = 0\)
\(x(x^2 + 2x - 3) = 0\)
\(x(x + 3)(x - 1) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = -3\) ou \(x = 1\)
Donc \(\boxed{S = \{-3; 0; 1\}}\)
3) \(\dfrac{\sqrt{2}x - 1}{x - 1} = \dfrac{2x - 2}{\sqrt{2}x - 2}\)
Valeurs interdites : \(x = 1\) et \(\sqrt{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{1; \sqrt{2}\}\)
\((\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x - 2) = (2x - 2)(x - 1)\)
\(2x^2 - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 2 = 2x^2 - 2x - 2x + 2\)
\(-3\sqrt{2}x + 4x = 0\)
\(x(-3\sqrt{2} + 4) = 0\)
\(x = 0\) (car \(-3\sqrt{2} + 4 \neq 0\))
\(0 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{0\}}\)
Valeurs interdites : \(x = 1\) et \(\sqrt{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}\)
Domaine : \(D_E = \mathbb{R} \setminus \{1; \sqrt{2}\}\)
\((\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x - 2) = (2x - 2)(x - 1)\)
\(2x^2 - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 2 = 2x^2 - 2x - 2x + 2\)
\(-3\sqrt{2}x + 4x = 0\)
\(x(-3\sqrt{2} + 4) = 0\)
\(x = 0\) (car \(-3\sqrt{2} + 4 \neq 0\))
\(0 \in D_E\)
Donc \(\boxed{S = \{0\}}\)