متطلبات الإكمال
I) OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES - INTERSECTION ET UNION
1) Ensembles de nombres
📌 Définitions :
• \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels (peuvent s'écrire sous forme de fraction)
• \(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels
• \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels (peuvent s'écrire sous forme de fraction)
• \(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels
✏️ Propriétés :
• \(A \cap B\) = ensemble des éléments communs à A et B
• \(A \cup B\) = ensemble des éléments appartenant à A ou à B
• \(A \cap B\) = ensemble des éléments communs à A et B
• \(A \cup B\) = ensemble des éléments appartenant à A ou à B
📌 Exercice 01 : (2 pts)
Soient \( A = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, \frac{2\sqrt{5}}{2}, 49\right\}, B = \{-3, 3, \frac{147}{3}\}, C = \{\sqrt{3}, \frac{5}{2}, 49\}\)
trois ensembles.
Déterminer \( A \cap B; A \cap C; A \cup B; A \cup C; A \cap \mathbb{N}; A \cap \mathbb{Z}; A \cap \mathbb{Q}; A \cap \mathbb{R} \).
✅ Corrigé détaillé
1) \( A \cap B = \{-3\} \) (car \(-3\) est le seul élément commun).
2) \( A \cap C = \{\sqrt{3}, 49\} \) (car \(\sqrt{3}\) et \(49\) sont dans les deux ensembles).
3) \( A \cup B = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, \frac{2\sqrt{5}}{2}, 49, 3, \frac{147}{3}\right\}\).
4) \( A \cup C = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, \frac{2\sqrt{5}}{2}, 49, \frac{5}{2}\right\}\).
5) \( A \cap \mathbb{N} = \{49\} \) (car \(\frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\) n'est pas entier).
6) \( A \cap \mathbb{Z} = \{-3, 49\} \).
7) \( A \cap \mathbb{Q} = \left\{-\frac{28}{5}, -3, 49\right\} \) (car \(-\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) sont irrationnels).
8) \( A \cap \mathbb{R} = A \).
II) RACINES CARRÉES ET EXPRESSIONS SIMPLIFIÉES
1) Propriétés des racines carrées
📌 Propriétés :
• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
• \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2} = |a|\).
• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
• \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2} = |a|\).
🔹 Exemple : \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} \times \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{16-12} = 2\).
📌 Exercice 02 : (4 pts)
On pose : \( A = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \) et \( B = \sqrt{4-2\sqrt{3}} \).
1) Montrer que \( A \times B = 2 \). (1 pt)
2) On pose \( X = A + B \) et \( Y = A - B \). Calculer \( X^2 \) et \( Y^2 \). (1 pt)
3) En déduire une écriture simple de \( X \) et \( Y \). (1 pt)
4) En déduire une écriture simple de \( A \) et \( B \). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( A \times B = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \times \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} \).
\( = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 \).
Donc \( A \times B = 2 \).
2) \( X^2 = (A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB = (4+2\sqrt{3}) + (4-2\sqrt{3}) + 2 \times 2 = 8 + 4 = 12 \).
\( Y^2 = (A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB = 8 - 4 = 4 \).
Donc \( X^2 = 12 \) et \( Y^2 = 4 \).
3) \( X = A+B \) est une somme de deux nombres positifs, donc \( X > 0 \).
Donc \( X = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \).
\( A > B \) car \( 4+2\sqrt{3} > 4-2\sqrt{3} \), donc \( Y = A-B > 0 \).
Donc \( Y = \sqrt{4} = 2 \).
Donc \( X = 2\sqrt{3} \) et \( Y = 2 \).
4) On a le système :
\[ \begin{cases} A + B = 2\sqrt{3} \\ A - B = 2 \end{cases} \]
En additionnant : \( 2A = 2 + 2\sqrt{3} \Rightarrow A = 1 + \sqrt{3} \).
En soustrayant : \( 2B = 2\sqrt{3} - 2 \Rightarrow B = \sqrt{3} - 1 \).
Donc \( A = 1 + \sqrt{3} \) et \( B = \sqrt{3} - 1 \).