Exemple : 

L'ordre et le degré de l'équation différentielle \( y = x \frac{dy}{dx} + \sqrt{a^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + b^2} \) sont

(a) 1, 2 (b) 2, 1 (c) 1, 1 (d) 2, 2

 Solution :
 Clairement, la dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \( \frac{dy}{dx} \), d'ordre 1.

En exprimant l'équation différentielle ci-dessus sous forme de polynôme en dérivée, nous avons
\[
\left( y - x \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + b^2
\]
c'est-à-dire, \( (x^2 - a^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 - b^2 = 0 \)

Dans cette équation, la puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé est 2. Donc son degré est 2.

- Exemple:

L'ordre et le degré de l'équation différentielle \( \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + x^4 = 0 \) sont respectivement

(a) 2, 3 (b) 3, 3 (c) 2, 6 (d) 2, 4

 - Solution :
La dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \( \frac{d^2 y}{dx^2} \), qui est la dérivée d'ordre 2. Par conséquent, l'ordre de l'équation différentielle est 2. En libérant l'équation ci-dessus des radicaux, en ce qui concerne les dérivées, nous avons
\[
\left( \frac{d^2 y}{dx^2} + x^4 \right)^3 = -\frac{dy}{dx}, \quad \text{c'est-à-dire} \quad \left( \frac{d^2 y}{dx^2} + x^4 \right)^3 + \frac{dy}{dx} = 0
\]

L'exposant de la dérivée d'ordre le plus élevé \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) sera 3. Par conséquent, le degré de l'équation différentielle est 3.

- Exemple :

Le degré de l'équation différentielle \( \frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = x^2 \log \left( \frac{d^2 y}{dx^2} \right) \) est

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) Aucun de ces

- Solution :
L'équation ci-dessus ne peut pas être écrite sous forme de polynôme en dérivées en raison du terme \( x^2 \log \left( \frac{d^2 y}{dx^2} \right) \).

Par conséquent, le degré de l'équation différentielle est « non défini ».

- Exemple:

L'ordre de l'équation différentielle dont la solution est \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) est

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

- Solution :
Pour éliminer les constantes arbitraires \( g, f \) et \( c \), nous avons besoin de 3 équations supplémentaires, obtenues en différenciant l'équation 3 fois. Par conséquent, la dérivée d'ordre le plus élevé sera \( \frac{d^3 y}{dx^3} \). Ainsi, l'ordre de l'équation différentielle sera 3.

- Exemple : 

L'ordre de l'équation différentielle de tous les cercles de rayon \( r \), ayant leur centre sur l'axe \( y \) et passant par l'origine est

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

- Solution :
L'équation du cercle sera \( x^2 + (y \pm r)^2 = r^2 \). Par conséquent, la constante à éliminer est \( r \).