où \( f_1 \) et \( f_2 \) sont des fonctions de \( x \) et \( y \) seulement. Alors nous disons que les variables sont séparables dans l'équation différentielle.

Ainsi, en intégrant les deux côtés de (i), nous obtenons sa solution comme 
\[ \int f_1(x)dx = \int f_2(y)dy + C, \]

où \( C \) est une constante arbitraire.

Il n'est pas nécessaire d'introduire des constantes arbitraires des deux côtés car elles peuvent être combinées pour donner une seule constante.

(i) - Équations différentielles du type} \(\frac{dy}{dx} = f(x)\)

Pour résoudre ce type d'équations différentielles, nous intégrons les deux côtés pour obtenir la solution générale comme suit :
\[
\frac{dy}{dx} = f(x) \Leftrightarrow dy = f(x)dx
\]

En intégrant les deux côtés, nous obtenons,
\[
\int dy = \int f(x)dx + C \text{ ou } y = \int f(x)dx + C.
\]

(ii) - Équations différentielles du type} \(\frac{dy}{dx} = f(y)\)

Pour résoudre ce type d'équations différentielles, nous intégrons les deux côtés pour obtenir la solution générale comme suit :
\[
\frac{dy}{dx} = f(y) \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(y)} \Rightarrow dx = \frac{1}{f(y)}dy
\]

En intégrant les deux côtés, nous obtenons,
\[
\int dx = \int \frac{1}{f(y)}dy + C \text{ ou } x = \int \frac{1}{f(y)}dy + C.
\]

-  Équations réductibles à la forme à variables séparables 

(i)-  Les équations différentielles de la forme \(\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)\) peuvent être réduites à la forme à variables séparables par la substitution 
\[
ax + by + c = Z
\]
\[
\therefore a + b \frac{dy}{dx} = \frac{dZ}{dx}
\]
\[
\therefore \left(\frac{dZ}{dx} - a\right) \frac{1}{b} = f(Z) \Rightarrow \frac{dZ}{dx} = a + bf(Z).
\]

Ceci est une forme à variables séparables.

(ii) - Équation différentielle de la forme 
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{ax + by + c}{Ax + By + C}, \text{ où } \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = K \text{ (par exemple)}
\]
\[
\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{K(Ax + By) + C}{Ax + By + C}
\]

Posons \( Ax + By = Z \)

\[
\therefore A + B \frac{dy}{dx} = \frac{dZ}{dx}, \quad \therefore \left[\frac{dZ}{dx} - A\right] \frac{1}{B} = \frac{KZ + C}{Z + C} \Rightarrow \frac{dZ}{dx} = A + B \frac{KZ + C}{Z + C}
\]