- Équation différentielle exacte :

(1) Équation différentielle exacte : Si \( M \) et \( N \) sont des fonctions de \( x \) et \( y \), l'équation \( Mdx + Ndy = 0 \) est dite exacte lorsqu'il existe une fonction \( f(x, y) \) de \( x \) et \( y \) telle que

\[
df(x, y) = Mdx + Ndy \quad \text{c'est-à-dire} \quad \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = Mdx + Ndy
\]

où \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \text{Dérivée partielle de } f(x, y) \text{ par rapport à } x \text{ (en gardant } y \text{ constant)} \]

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \text{Dérivée partielle de } f(x, y) \text{ par rapport à } y \text{ (en traitant } x \text{ comme constant)}
\]

**Remarque** : □ Une équation différentielle exacte peut toujours être dérivée directement de sa solution générale par différenciation sans aucune multiplication, élimination, etc. ultérieure.

(2) Théorème : La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation différentielle \( Mdx + Ndy = 0 \) soit exacte est \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad \text{c'est-à-dire} \text{ la dérivée partielle de } M(x, y) \text{ par rapport à } y = \text{ la dérivée partielle de } N(x, y) \text{ par rapport à } x \]

(3) Facteur intégrant : Si une équation de la forme \( Mdx + Ndy = 0 \) n'est pas exacte, elle peut toujours être rendue exacte en multipliant par une fonction de \( x \) et \( y \). Un tel multiplicateur est appelé facteur intégrant.

(4) Règle de travail pour résoudre une équation différentielle exacte :

Étape (i) : Comparez l'équation donnée avec \( Mdx + Ndy = 0 \) et trouvez \( M \) et \( N \). Ensuite, trouvez \[ \frac{\partial M}{\partial y} \text{ et } \frac{\partial N}{\partial x} \text{ . Si } \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \text{ , l'équation donnée est exacte.} \]

Étape (ii) : Intégrez \( M \) par rapport à \( x \) en traitant \( y \) comme une constante.

Étape (iii) : Intégrez \( N \) par rapport à \( y \) en traitant \( x \) comme une constante et omettez les termes qui ont déjà été obtenus en intégrant \( M \).

Étape (iv) : En additionnant les termes obtenus aux étapes (ii) et (iii) et en les égalant à une constante arbitraire, on obtient la solution requise.

En d'autres termes, la solution d'une équation différentielle exacte est \[ \int Mdx + \int Ndy = c \]

(5) Solution par inspection : Si nous pouvons écrire l'équation différentielle sous la forme \[ f(f_1(x,y))d(f_1(x,y)) + \phi(f_2(x,y))d(f_2(x,y)) + \ldots = 0 \], alors chaque terme peut être facilement intégré séparément. Pour cela, les résultats suivants doivent être mémorisés.

(i) \( d(x + y) = dx + dy \)

(ii) \( d(xy) = xdy + ydx \)