Problème :

Si \(  [2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O\), trouvez la valeur de \(  x\).

Solution :
Nous avons
\[
[2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O \Rightarrow [2x-9\ 4x] \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = [0]
\]
ou
\[
[2x^2 - 9x + 32x] = [0] \Rightarrow 2x^2 + 23x = 0
\]
ou
\[
x(2x + 23) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = -\frac{23}{2}
\]

Problème :

Si \(  A\) est une matrice inversible de taille \(  3 \times 3\), montrez que pour tout scalaire \(  k\) (non nul), \(  kA\) est inversible et \(  (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\).

Solution :
Nous avons
\[
(kA) \left(\frac{1}{k}A^{-1}\right) = \left(k \cdot \frac{1}{k}\right)(A \cdot A^{-1}) = 1 \cdot I = I
\]
Ainsi, \(  (kA)\) est l'inverse de \(  \left(\frac{1}{k}A^{-1}\right)\), c'est-à-dire \(  (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\).

Problème :

Exprimez la matrice \(  A\) comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique, où
\[
A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}.
\]

Solution :
Nous avons
\[
A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \text{donc} \quad A^T = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ -6 & 5 & 4 \end{bmatrix}
\]

La décomposition symétrique/antisymétrique est donnée par :
\[
A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}
\]

Calculons les deux parties :

1. Partie symétrique :
\[
\frac{A + A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
\]

2. Partie antisymétrique :
\[
\frac{A - A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{bmatrix}
\]

Vérification :
\[
\frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} = A
\]