Résumé de section

    • 📌 Problème 1
      Énoncé :
      Si \( [2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O \), trouvez la valeur de \( x \).
      ✅ Solution :
      \( [2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O \Rightarrow [2x-9\ 4x] \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = [0] \)
      \( [2x^2 - 9x + 32x] = [0] \Rightarrow 2x^2 + 23x = 0 \)
      \( x(2x + 23) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = -\frac{23}{2} \)
      📌 Problème 2
      Énoncé :
      Si \( A \) est une matrice inversible de taille \( 3 \times 3 \), montrez que pour tout scalaire \( k \) (non nul), \( kA \) est inversible et \( (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \).
      ✅ Solution :
      \( (kA) \left(\frac{1}{k}A^{-1}\right) = \left(k \cdot \frac{1}{k}\right)(A \cdot A^{-1}) = 1 \cdot I = I \)

      Ainsi, \( kA \) est inversible et son inverse est \( \frac{1}{k}A^{-1} \).

      📌 Problème 3
      Énoncé :
      Exprimez la matrice \( A \) comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique, où \( A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}. \)
      ✅ Solution :

      On a :

      \( A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ -6 & 5 & 4 \end{bmatrix} \)

      La décomposition symétrique/antisymétrique est donnée par :

      \( A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2} \)

      1. Partie symétrique :

      \( \frac{A + A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix} \)

      2. Partie antisymétrique :

      \( \frac{A - A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{bmatrix} \)

      Vérification :

      \( \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} = A \)