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  Opérations sur les Matrices

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    Problème :
    
    Si \(  [2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O\), trouvez la valeur de \(  x\).

    Solution :
    Nous avons
    \[
    [2x\ 3] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = O \Rightarrow [2x-9\ 4x] \begin{bmatrix} x \\ 8 \end{bmatrix} = [0]
    \]
    ou
    \[
    [2x^2 - 9x + 32x] = [0] \Rightarrow 2x^2 + 23x = 0
    \]
    ou
    \[
    x(2x + 23) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = -\frac{23}{2}
    \]

    Problème :
    
    Si \(  A\) est une matrice inversible de taille \(  3 \times 3\), montrez que pour tout scalaire \(  k\) (non nul), \(  kA\) est inversible et \(  (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\).

    Solution :
    Nous avons
    \[
    (kA) \left(\frac{1}{k}A^{-1}\right) = \left(k \cdot \frac{1}{k}\right)(A \cdot A^{-1}) = 1 \cdot I = I
    \]
    Ainsi, \(  (kA)\) est l'inverse de \(  \left(\frac{1}{k}A^{-1}\right)\), c'est-à-dire \(  (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\).

    Problème :
    
    Exprimez la matrice \(  A\) comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique, où
    \[
    A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}.
    \]

    Solution :
    Nous avons
    \[
    A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}, \quad \text{donc} \quad A^T = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ -6 & 5 & 4 \end{bmatrix}
    \]

    La décomposition symétrique/antisymétrique est donnée par :
    \[
    A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}
    \]

    Calculons les deux parties :

    1. Partie symétrique :
    \[
    \frac{A + A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
    \]

    2. Partie antisymétrique :
    \[
    \frac{A - A^T}{2} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{bmatrix}
    \]

    Vérification :
    \[
    \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} = A
    \]

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  Opérations sur les Matrices:

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    Décomposition d'une Matrice:

    Soit la matrice \( A\) donnée par :

    \[
    A = \begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
    \]

    On calcule :

    \[
    \frac{A + A'}{2} = \frac{1}{2} 
    \begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
    = \begin{bmatrix} 2 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 4 \end{bmatrix}
    \]

    et

    \[
    \frac{A - A'}{2} = \frac{1}{2} 
    \begin{bmatrix} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{bmatrix}
    = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & 0 \end{bmatrix}
    \]

    Par conséquent,

    \[
    \frac{A + A'}{2} + \frac{A - A'}{2} = 
    \begin{bmatrix} 2 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 4 \end{bmatrix}
    + \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & 0 \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} = A
    \]

    Exemple:

    Soit la matrice :

    \[
    A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
    \]

    Montrer que \( A\) satisfait l'équation suivante :

    \[
    A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
    \]

    Solution:

    Démonstration que \( A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0 \) 

    Soit la matrice :
    \[
    A = 
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & -1 \\
    1 & 2 & 3
    \end{bmatrix}
    \]

    Étape 1 : Calcul de \( A^2 \)
    \[
    A^2 = A \times A = 
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & -1 \\
    1 & 2 & 3
    \end{bmatrix}
    \times
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & -1 \\
    1 & 2 & 3
    \end{bmatrix}
    \]

    Calcul  :
    
    

    • Première ligne :

      (1×1)+(3×2)+(2×1)=1+6+2=9
      (1×3)+(3×0)+(2×2)=3+0+4=7
      (1×2)+(3×(−1))+(2×3)=2−3+6=5
      
      

    • Deuxième ligne :

      (2×1)+(0×2)+(−1×1)=2+0−1=1
      (2×3)+(0×0)+(−1×2)=6+0−2=4
      (2×2)+(0×(−1))+(−1×3)=4+0−3=1
      
      

    • Troisième ligne :

      (1×1)+(2×2)+(3×1)=1+4+3=8
      (1×3)+(2×0)+(3×2)=3+0+6=9
      (1×2)+(2×(−1))+(3×3)=2−2+9=9
      
      

    Donc :
    \[
    A^2 = 
    \begin{bmatrix}
    9 & 7 & 5 \\
    1 & 4 & 1 \\
    8 & 9 & 9
    \end{bmatrix}
    \]

    Étape 2 : Calcul de \( A^3 \) :
    \[
    A^3 = A \times A^2 = 
    \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & -1 \\
    1 & 2 & 3
    \end{bmatrix}
    \times
    \begin{bmatrix}
    9 & 7 & 5 \\
    1 & 4 & 1 \\
    8 & 9 & 9
    \end{bmatrix}
    \]

    Calcul détaillé :
    
    

    • Première ligne :

      (1×9)+(3×1)+(2×8)=9+3+16=28
      (1×7)+(3×4)+(2×9)=7+12+18=37
      (1×5)+(3×1)+(2×9)=5+3+18=26
      
      

    • Deuxième ligne :

      (2×9)+(0×1)+(−1×8)=18+0−8=10
      (2×7)+(0×4)+(−1×9)=14+0−9=5
      (2×5)+(0×1)+(−1×9)=10+0−9=1
      
      

    • Troisième ligne :

      (1×9)+(2×1)+(3×8)=9+2+24=35
      (1×7)+(2×4)+(3×9)=7+8+27=42
      (1×5)+(2×1)+(3×9)=5+2+27=34
      

    Donc :
    \[
    A^3 = 
    \begin{bmatrix}
    28 & 37 & 26 \\
    10 & 5 & 1 \\
    35 & 42 & 34
    \end{bmatrix}
    \]

    Étape 3 : Calcul des termes :
    \begin{align*}
    4A^2 &= 
    \begin{bmatrix}
    36 & 28 & 20 \\
    4 & 16 & 4 \\
    32 & 36 & 36
    \end{bmatrix}, \quad
    3A = 
    \begin{bmatrix}
    3 & 9 & 6 \\
    6 & 0 & -3 \\
    3 & 6 & 9
    \end{bmatrix}, \quad
    11I = 
    \begin{bmatrix}
    11 & 0 & 0 \\
    0 & 11 & 0 \\
    0 & 0 & 11
    \end{bmatrix}
    \end{align*}

    Étape 4 : Vérification :
    \[
    A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 
    \begin{bmatrix}
    28-36-3+11 & 37-28-9+0 & 26-20-6+0 \\
    10-4-6+0 & 5-16-0+11 & 1-4+3+0 \\
    35-32-3+0 & 42-36-6+0 & 34-36-9+11
    \end{bmatrix}
    = 
    \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0
    \end{bmatrix}
    \]

    
    La matrice \( A \) satisfait bien l'équation :
    \[
    A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
    \]

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  Opérations sur les Matrices

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    Opérations sur les Matrices: 
    Calcul des puissances de \(A\) :

    Soit la matrice :
    \[
    A = \begin{bmatrix} 
    1 & 3 & 2 \\ 
    2 & 6 & 4 \\ 
    1 & 3 & -2 
    \end{bmatrix}
    \]

    Calcul de \(A^2\): 

    \[
    A^2 = A \times A
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    1\cdot6+6\cdot2 & 3\cdot0+4\cdot4 & 2\cdot-3+6\cdot6 \\ 
    2\cdot0+1 & 6\cdot0-2 & 4\cdot0-3 \\ 
    1\cdot4+3\cdot3 & 3\cdot0+6 & 2\cdot-2+9 
    \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    9 & 7 & 5 \\ 
    1 & 4 & 1 \\ 
    8 & 9 & 9 
    \end{bmatrix}
    \]

     Calcul de \(A^3\) 

    \[
    A^3 = A^2 \times A
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    9 & 7 & 5 \\ 
    1 & 4 & 1 \\ 
    8 & 9 & 9 
    \end{bmatrix}
    \cdot
    \begin{bmatrix} 
    1 & 3 & 2 \\ 
    2 & 0 & -1 \\ 
    1 & 2 & 3 
    \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    9\cdot1 + 7\cdot2 + 5\cdot1 & 9\cdot3 + 7\cdot0 + 5\cdot2 & 9\cdot2 + 7\cdot(-1) + 5\cdot3 \\ 
    1\cdot1 + 4\cdot2 + 1\cdot1 & 1\cdot3 + 4\cdot0 + 1\cdot2 & 1\cdot2 + 4\cdot(-1) + 1\cdot3 \\ 
    8\cdot1 + 9\cdot2 + 9\cdot1 & 8\cdot3 + 9\cdot0 + 9\cdot2 & 8\cdot2 + 9\cdot(-1) + 9\cdot3 
    \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    28 & 37 & 26 \\ 
    10 & 5 & 1 \\ 
    35 & 42 & 34 
    \end{bmatrix}
    \]

    Vérification de l'équation matricielle:

    On vérifie :
    \[
    A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
    \]

    En substituant les valeurs calculées :
    \[
    \begin{bmatrix} 
    28 & 37 & 26 \\ 
    10 & 5 & 1 \\ 
    35 & 42 & 34 
    \end{bmatrix}
    - 4 \times 
    \begin{bmatrix} 
    9 & 7 & 5 \\ 
    1 & 4 & 1 \\ 
    8 & 9 & 9 
    \end{bmatrix}
    - 3 \times 
    \begin{bmatrix} 
    1 & 3 & 2 \\ 
    2 & 0 & -1 \\ 
    1 & 2 & 3 
    \end{bmatrix}
    + 11 \times 
    \begin{bmatrix} 
    1 & 0 & 0 \\ 
    0 & 1 & 0 \\ 
    0 & 0 & 1 
    \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    28 - 36 - 3 + 11 & 37 - 28 - 9 + 0 & 26 - 20 - 6 + 0 \\ 
    10 - 4 - 6 + 0 & 5 - 16 + 0 + 11 & 1 - 4 + 3 + 0 \\ 
    35 - 32 - 3 + 0 & 42 - 36 - 6 + 0 & 34 - 36 - 9 + 11 
    \end{bmatrix}
    \]

    \[
    = \begin{bmatrix} 
    0 & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & 0 
    \end{bmatrix} = O
    \]

    Ainsi, l'équation est bien vérifiée.

• Select section Opérations sur les Matrices

  Opérations sur les Matrices

  • Select activity Exemple

    Exemple :
    
    Soit \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \). Montrer que \( A^2 - 4A + 7I = O \).

    En utilisant ce résultat, calculer également \( A^5 \).

    Solution :
    Nous avons \( A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \),

    \[
    -4A = \begin{bmatrix} -8 & -12 \\ 4 & -8 \end{bmatrix} \text{ et } 7I = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}.
    \]

    Par conséquent, 
    \[
    A^2 - 4A + 7I = \begin{bmatrix} 1-8+7 & 12-12+0 \\ -4+4+0 & 1-8+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O
    \]

    \[
    \Rightarrow A^2 = 4A - 7I
    \]

    Ainsi,
    \[
    A^3 = A \cdot A^2 = A (4A - 7I) = 4A^2 - 7A = 4 (4A - 7I) - 7A = 16A - 28I - 7A = 9A - 28I
    \]

    et donc
    \[
    A^5 = A^3 \cdot A^2 = (9A - 28I)(4A - 7I)
    \]
    \[
    = 36A^2 - 63A - 112A + 196I
    \]
    \[
    = 36 (4A - 7I) - 175A + 196I
    \]
    \[
    = -31A - 56I
    \]
    \[
    = -31 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} - 56 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
    \[
    = \begin{bmatrix} -118 & -93 \\ 31 & -118 \end{bmatrix}
    \]