Décomposition d'une Matrice:

Soit la matrice \( A\) donnée par :

\[
A = \begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
\]

On calcule :

\[
\frac{A + A'}{2} = \frac{1}{2} 
\begin{bmatrix} 4 & 11 & -5 \\ 11 & 6 & 3 \\ -5 & 3 & 8 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 2 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 4 \end{bmatrix}
\]

et

\[
\frac{A - A'}{2} = \frac{1}{2} 
\begin{bmatrix} 0 & -3 & -7 \\ 3 & 0 & 7 \\ 7 & -7 & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & 0 \end{bmatrix}
\]

Par conséquent,

\[
\frac{A + A'}{2} + \frac{A - A'}{2} = 
\begin{bmatrix} 2 & \frac{11}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{11}{2} & 3 & \frac{3}{2} \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & 4 \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{2} \\ \frac{7}{2} & -\frac{7}{2} & 0 \end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 7 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} = A
\]

Exemple:

Soit la matrice :

\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
\]

Montrer que \( A\) satisfait l'équation suivante :

\[
A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
\]

Solution:

Démonstration que \( A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0 \) 

Soit la matrice :
\[
A = 
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & -1 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\]

Étape 1 : Calcul de \( A^2 \)
\[
A^2 = A \times A = 
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & -1 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & -1 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\]

Calcul  :

• Première ligne :

  (1×1)+(3×2)+(2×1)=1+6+2=9
  (1×3)+(3×0)+(2×2)=3+0+4=7
  (1×2)+(3×(−1))+(2×3)=2−3+6=5
  
  

• Deuxième ligne :

  (2×1)+(0×2)+(−1×1)=2+0−1=1
  (2×3)+(0×0)+(−1×2)=6+0−2=4
  (2×2)+(0×(−1))+(−1×3)=4+0−3=1
  
  

• Troisième ligne :

  (1×1)+(2×2)+(3×1)=1+4+3=8
  (1×3)+(2×0)+(3×2)=3+0+6=9
  (1×2)+(2×(−1))+(3×3)=2−2+9=9
  
  

Donc :
\[
A^2 = 
\begin{bmatrix}
9 & 7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
8 & 9 & 9
\end{bmatrix}
\]

Étape 2 : Calcul de \( A^3 \) :
\[
A^3 = A \times A^2 = 
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & -1 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
9 & 7 & 5 \\
1 & 4 & 1 \\
8 & 9 & 9
\end{bmatrix}
\]

Calcul détaillé :

• Première ligne :

  (1×9)+(3×1)+(2×8)=9+3+16=28
  (1×7)+(3×4)+(2×9)=7+12+18=37
  (1×5)+(3×1)+(2×9)=5+3+18=26
  
  

• Deuxième ligne :

  (2×9)+(0×1)+(−1×8)=18+0−8=10
  (2×7)+(0×4)+(−1×9)=14+0−9=5
  (2×5)+(0×1)+(−1×9)=10+0−9=1
  
  

• Troisième ligne :

  (1×9)+(2×1)+(3×8)=9+2+24=35
  (1×7)+(2×4)+(3×9)=7+8+27=42
  (1×5)+(2×1)+(3×9)=5+2+27=34
  

Donc :
\[
A^3 = 
\begin{bmatrix}
28 & 37 & 26 \\
10 & 5 & 1 \\
35 & 42 & 34
\end{bmatrix}
\]

Étape 3 : Calcul des termes :
\begin{align*}
4A^2 &= 
\begin{bmatrix}
36 & 28 & 20 \\
4 & 16 & 4 \\
32 & 36 & 36
\end{bmatrix}, \quad
3A = 
\begin{bmatrix}
3 & 9 & 6 \\
6 & 0 & -3 \\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}, \quad
11I = 
\begin{bmatrix}
11 & 0 & 0 \\
0 & 11 & 0 \\
0 & 0 & 11
\end{bmatrix}
\end{align*}

Étape 4 : Vérification :
\[
A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 
\begin{bmatrix}
28-36-3+11 & 37-28-9+0 & 26-20-6+0 \\
10-4-6+0 & 5-16-0+11 & 1-4+3+0 \\
35-32-3+0 & 42-36-6+0 & 34-36-9+11
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]

La matrice \( A \) satisfait bien l'équation :
\[
A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
\]