Opérations sur les Matrices: 
Calcul des puissances de \(A\) :

Soit la matrice :
\[
A = \begin{bmatrix} 
1 & 3 & 2 \\ 
2 & 6 & 4 \\ 
1 & 3 & -2 
\end{bmatrix}
\]

Calcul de \(A^2\): 

\[
A^2 = A \times A
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
1\cdot6+6\cdot2 & 3\cdot0+4\cdot4 & 2\cdot-3+6\cdot6 \\ 
2\cdot0+1 & 6\cdot0-2 & 4\cdot0-3 \\ 
1\cdot4+3\cdot3 & 3\cdot0+6 & 2\cdot-2+9 
\end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
9 & 7 & 5 \\ 
1 & 4 & 1 \\ 
8 & 9 & 9 
\end{bmatrix}
\]

 Calcul de \(A^3\) 

\[
A^3 = A^2 \times A
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
9 & 7 & 5 \\ 
1 & 4 & 1 \\ 
8 & 9 & 9 
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix} 
1 & 3 & 2 \\ 
2 & 0 & -1 \\ 
1 & 2 & 3 
\end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
9\cdot1 + 7\cdot2 + 5\cdot1 & 9\cdot3 + 7\cdot0 + 5\cdot2 & 9\cdot2 + 7\cdot(-1) + 5\cdot3 \\ 
1\cdot1 + 4\cdot2 + 1\cdot1 & 1\cdot3 + 4\cdot0 + 1\cdot2 & 1\cdot2 + 4\cdot(-1) + 1\cdot3 \\ 
8\cdot1 + 9\cdot2 + 9\cdot1 & 8\cdot3 + 9\cdot0 + 9\cdot2 & 8\cdot2 + 9\cdot(-1) + 9\cdot3 
\end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
28 & 37 & 26 \\ 
10 & 5 & 1 \\ 
35 & 42 & 34 
\end{bmatrix}
\]

Vérification de l'équation matricielle:

On vérifie :
\[
A^3 - 4A^2 - 3A + 11I = 0
\]

En substituant les valeurs calculées :
\[
\begin{bmatrix} 
28 & 37 & 26 \\ 
10 & 5 & 1 \\ 
35 & 42 & 34 
\end{bmatrix}
- 4 \times 
\begin{bmatrix} 
9 & 7 & 5 \\ 
1 & 4 & 1 \\ 
8 & 9 & 9 
\end{bmatrix}
- 3 \times 
\begin{bmatrix} 
1 & 3 & 2 \\ 
2 & 0 & -1 \\ 
1 & 2 & 3 
\end{bmatrix}
+ 11 \times 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
28 - 36 - 3 + 11 & 37 - 28 - 9 + 0 & 26 - 20 - 6 + 0 \\ 
10 - 4 - 6 + 0 & 5 - 16 + 0 + 11 & 1 - 4 + 3 + 0 \\ 
35 - 32 - 3 + 0 & 42 - 36 - 6 + 0 & 34 - 36 - 9 + 11 
\end{bmatrix}
\]

\[
= \begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 
\end{bmatrix} = O
\]

Ainsi, l'équation est bien vérifiée.