Exemple :

Soit \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \). Montrer que \( A^2 - 4A + 7I = O \).

En utilisant ce résultat, calculer également \( A^5 \).

Solution :
Nous avons \( A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 12 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \),

\[
-4A = \begin{bmatrix} -8 & -12 \\ 4 & -8 \end{bmatrix} \text{ et } 7I = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}.
\]

Par conséquent, 
\[
A^2 - 4A + 7I = \begin{bmatrix} 1-8+7 & 12-12+0 \\ -4+4+0 & 1-8+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O
\]

\[
\Rightarrow A^2 = 4A - 7I
\]

Ainsi,
\[
A^3 = A \cdot A^2 = A (4A - 7I) = 4A^2 - 7A = 4 (4A - 7I) - 7A = 16A - 28I - 7A = 9A - 28I
\]

et donc
\[
A^5 = A^3 \cdot A^2 = (9A - 28I)(4A - 7I)
\]
\[
= 36A^2 - 63A - 112A + 196I
\]
\[
= 36 (4A - 7I) - 175A + 196I
\]
\[
= -31A - 56I
\]
\[
= -31 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} - 56 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
= \begin{bmatrix} -118 & -93 \\ 31 & -118 \end{bmatrix}
\]