\section*{Exercice 1 : (2,5 points)}
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :
\[ u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = \frac{u_n^3}{3u_n^2 + 1} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Montrer que : $u_n > 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\item[b)] Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\item[c)] En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Montrer que : $u_{n+1} \leq \frac{1}{3} u_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\item[b)] En déduire que : $u_n \leq \left( \frac{1}{3} \right)^n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ puis calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 2 : (3,5 points)}
On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, les points $A(1,2,-2)$, $B(0,3,-3)$ et $C(1,1,-2)$ et le plan $(P)$ d'équation :
\[ x + y - 3 = 0. \]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Calculer la distance du point $\Omega(0,1,-1)$ au plan $(P)$.
\item[b)] En déduire qu'une équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $\Omega(0,1,-1)$ et tangente au plan $(P)$ est :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 2z = 0. \]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Déterminer $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}$ puis en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\item[b)] Montrer que :
\[ x - z - 3 = 0 \text{ est une équation cartésienne du plan } (ABC). \]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Vérifier que la sphère $(S)$ est tangente au plan $(ABC)$.
\item[b)] Calculer la distance $\Omega C$ et en déduire le point de contact de $(S)$ et le plan $(ABC)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation suivante :
\[ (E) : 2z^2 - 2iz - 1 = 0. \]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. ($z_1$ et $z_2$ sont les deux solutions de l'équation tel que $\Re(z_1) > 0$).
\item[b)] Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
0.75 & \textbf{2.} Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)$, on considère les points A, B et S d'affixes respectives :
\[ a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i, \quad b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \quad \text{et} \quad s = i. \]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe $\frac{a - s}{b - s}$.
\item En déduire que le triangle SAB est équilatéral et rectangle en S.
\item Montrer que le quadrilatère OASB est un carré.
\end{enumerate} \\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 4 : (3 points)}
Un sac $U_1$ contient :
\begin{itemize}
\item Deux jetons portant le nombre 1
\item Quatre jetons portant le nombre 2
\end{itemize}
(Les jetons sont indiscernables au toucher).
Un autre sac $U_2$ contient :
\begin{itemize}
\item Trois boules rouges
\item Quatre boules vertes
\end{itemize}
(Les boules sont aussi indiscernables au toucher).
On tire au hasard un jeton du sac $U_1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
\begin{itemize}
\item A : "Le jeton tiré porte le nombre 1"
\item B : "Le jeton tiré porte le nombre 2"
\end{itemize}
\item On considère l'expérience aléatoire suivante :
\begin{itemize}
\item On tire un jeton du sac $U_1$ et on note le nombre qu'il porte
\item Si ce nombre est 1, on tire une boule du sac $U_2$
\item Si ce nombre est 2, on tire simultanément deux boules du sac $U_2$
\end{itemize}
Soit $n$ le nombre de boules rouges tirées du sac $U_2$ et $E_n$ l'événement : "tirer exactement $n$ boules rouges".
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que :
\[ P(E_1) = \frac{11}{21} \quad \text{et} \quad P(E_2) = \frac{2}{21}. \]
\item Calculer la probabilité de l'événement A sachant que l'événement $E_1$ est réalisé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 5 : (8 points)}
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
\[ f(x) = \ln\left(x^2 - 2x + 2\right). \]
$(\mathcal{C})$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Vérifier que :
\[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \quad \text{pour tout} \quad x \in \mathbb{R}. \]
\subsection*{Suite de l'Exercice 5 : (8 points)}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|L{14cm}|}
\hline
0.75 & b) En déduire que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ puis calculer :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ et } \lim_{x \to -\infty} f(x). \] \\
\hline
0.5 & 2. Montrer que : $f(2-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ puis en déduire que la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de la courbe $(\mathcal{C})$. \\
\hline
0.5 & 3.a) Vérifier que :
\[ f(x) = 2 \ln(x) + \ln\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}\right) \text{ pour tout } x \in [1,+\infty[. \] \\
\hline
0.5 & b) En déduire que :
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \]
puis interpréter géométriquement ce résultat. \\
\hline
0.5 & 4.a) Montrer que :
\[ f'(x) = \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 + 1} \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}. \] \\
\hline
0.5 & b) Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \\
\hline
0.5 & 5.a) Montrer que :
\[ f''(x) = \frac{2x(2-x)}{\left[(x-1)^2 + 1\right]^2} \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}. \] \\
\hline
0.5 & b) Étudier la concavité de la courbe $(\mathcal{C})$. \\
\hline
0.75 & 6. Construire la courbe $(\mathcal{C})$. \\
\hline
0.5 & 7. Soit $h$ la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $[1,+\infty[$. \\
\hline
0.5 & a) Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on précisera. \\
\hline
0.5 & b) Déterminer $h^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$. \\
\hline
0.5 & 8.a) En posant $t = x - 1$, montrer que :
\[ \int_0^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 \ln(1+t^2) dt. \] \\
\hline
0.5 & b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ \int_{-1}^1 \ln(1+t^2) dt = \ln 2 - 2 \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1+t^2} dt. \] \\
\hline
0.5 & c) Montrer que :
\[ \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1+t^2} dt = 1 - \frac{\pi}{4} \]
(remarquer que : $\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$). \\
\hline
0.25 & d) En déduire l'aire du domaine plan délimité par :
\begin{itemize}
\item La courbe $(\mathcal{C})$
\item L'axe des abscisses
\item Les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$
\end{itemize} \\
\hline