Exercice 1 : (3 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points :

* \( A(1,2,-2)\)
* \(B(1,-1,1)\)
* \(C(2,1,-2)\)

1. a) Déterminer les coordonnées de \( AB et AC \). 

 b) Démontrer que \( x + y + z - 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\). 

2. Soit \(S\) la sphère de centre \(\Omega(1,1,1)\) et de rayon \(R = \frac{2}{\sqrt{3}}\). 
 & a) Démontrer que \( (ABC)\) est tangent à \( S\) et déterminer les coordonnées de \( H\) point de contact. 

b) Soit \( M(a,b,c) \in (ABC)\), démontrer que : \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\)  

Exercice 2 : (3 points)

On considère la suite \( (u_n)\) définie par :
\[ u_0 = 0, \quad u_1 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+2} = \frac{2}{5}u_{n+1} - \frac{1}{25}u_n \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \]

On pose :
\[ v_n = u_{n+1} - \frac{1}{5}u_n \quad \text{et} \quad w_n = s^n u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \]

* Montrer que \( (v_n)\) est géométrique de raison \(  \frac{1}{5} \) et exprimer \( v_n\) en fonction de \( n\).
* Montrer que \( (w_n)\) est arithmétique de raison \( s\).
* Exprimer \( w_n\) en fonction de \( n\) et en déduire \( u_n\).


* Montrer que \( 0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n\) pour tout \( n \in \mathbb{N}^*\).
* En déduire que \( 0 < u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} \quad \forall n \geq 2 \) et calculer \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n\).

Exercice 3 : (3 points)

 Deux sacs : 
*   5 jetons (3 avec "2", 2 avec "3") 
*  5 jetons (3 blancs, 2 rouges) 

On tire un jeton de \( U_1\) (noté \( X\)) puis  On tire aléatoirement et simultanément \( n\) jetons du sac \( U_2\) où \( n\) est le nombre porté par le jeton tiré de \( U_1\). Soit \( X\) la variable aléatoire égale au nombre de jetons rouges tirés. 

1. Déterminer la loi de probabilité de \( X\). 

 2. Calculer l'espérance mathématique de \( X\). 

Exercice 4 : (3 points) 

On considère dans \( \mathbb{C}\) l'équation :
\[ z^2 + 2z + 1 + i = 0. \]
Soit \( z_1\) et \( z_2\) les solutions avec\( \Im(z_1) > 0\).

1. Déterminer \( z_1\) et \( z_2\) (remarquer que \( (1-i)^2 = -2i\)). 

Dans le plan rapporté à \( (O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points :

* \( A(-1)\)
* \( B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)\)
* \( M_1(z_1)\)
* \( M_2(z_2)\)

a) Écrire sous forme trigonométrique \( -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\).

b) Vérifier que \( AM_1 = OB\) et que \( A\) est le milieu de \( [M_1M_2]\), puis construire ces points. 

c) En déduire que \( AOBM_1\) est un losange et que \( \arg(z_1) = \frac{7\pi}{8} [2\pi]\). 

Problème : (8 points)}

 Partie I : 
On considère l'équation différentielle :
\[ (E) : y'' - 2y' + y = x - 1. \]

1. Résoudre \( y'' - 2y' + y = 0\).  

2. a) Trouver une solution particulière de \( (E)\) de la forme \( y_0 : x \mapsto ax + b\). 

 b) Donner la solution générale de \( (E)\). 

c) Déterminer la solution \( h\) de \( (E)\) vérifiant \( h(0)=0\) et \( h'(0)=1\). 

Partie II :
On considère la fonction \( g\) définie sur \( [0; +\infty[\) par :
\[ g(x) = (x-1)e^x + x + 1. \]

 a) Calculer \( g'(x)\) pour \( x \in [0; +\infty[\) et en déduire les variations de \( g\). 

 b) Montrer que : \( g(x) \geq 0\) pour tout \( x \in [0,+\infty[\) (remarquer que \( g(0)=0\)). 

Partie III :
On considère la fonction \( f\) définie sur \( \mathbb{R}^*\) par :
\[ f(x) = \frac{xe^x}{(e^x - 1)^2}. \]
\( (C)\) est sa courbe représentative dans \( (O,\vec{i},\vec{j})\).

1. Montrer que \( f\) est impaire. 

2. a) Calculer \( \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)\) (rappel : \( \lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\))   et interpréter graphiquement. 

b) Montrer que \( \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0\) et interpréter graphiquement  (remarquer que \( f(x)=\frac{x}{e^x(1-e^{-x})^2}\)). 

 3. a) Montrer que : \( f'(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1)^3}g(x)\) pour \( x\in[0,+\infty[\). 

 b) Donner le tableau de variations de \( f\) sur \( [0,+\infty[\).  

4. Construire\( (C)\).  

5. a) Montrer que : \( \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{1}{e^x-1}dx = 2\ln 2 - \ln 3\)  
 (remarquer que \( \frac{1}{e^x-1}=\frac{e^x}{e^x-1}-1\)). \\

 b) En posant \( t=e^x\), montrer que :  
\( \int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x)dx = \int_2^3 \frac{\ln t}{(t-1)^2}dt\).  

6. a) Par intégration par parties, montrer que :  
\( \int_2^3 \frac{\ln t}{(t-1)^2}dt = 3\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3\). 

 c) En déduire l'aire du domaine délimité par : 
* \( (C)\) 
*  L'axe des abscisses 
*  Les droites \( x=\ln 2\) et \( x=\ln 3\) 
* avec \( ln 2\approx 0,7\) et \( ln 3 \approx 1,1\)).