\section*{Exercice 1 : (3 points)}
Dans l'espace rapporté à $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère :
\begin{itemize}
\item Points $A(0,-1,1)$ et $B(1,-1,0)$
\item Sphère $S$ : $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4z + 2 = 0$
\end{itemize}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|L{14cm}|}
\hline
1.25 & 1. Montrer que le centre de $S$ est $\Omega(1,0,2)$ de rayon $\sqrt{3}$ \\
& et vérifier que $A \in S$. \\
\hline
& 2. Déterminer $\overrightarrow{OA} \land \overrightarrow{OB}$ et montrer que \\
& $x + y + z = 0$ est une équation de $(OAB)$. \\
\hline
& 3. Montrer que $(OAB)$ est tangent à $S$ en $A$. \\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 2 : (3 points)}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 34 = 0$.
\item Dans le plan complexe $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$, on considère :
\begin{itemize}
\item $A(3+5i)$, $B(3-5i)$, $C(7+3i)$
\end{itemize}
Soit $M(z)$ et $M'(z')$ image par la translation de vecteur $\vec{u}(4-2i)$.
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|L{14cm}|}
\hline
& a) Montrer que $z' = z + 4 - 2i$ et que $C = T(A)$. \\
\hline
& b) Montrer que $\frac{b-c}{a-c} = 2i$. \\
\hline
& c) En déduire que $ABC$ est rectangle avec $BC = 2AC$. \\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
Une urne contient 6 boules rouges et 3 vertes (indiscernables).
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|L{14cm}|}
\hline
& 1. a) Probabilité de tirer 2 rouges et 1 verte. \\
\hline
& b) Montrer que $P(\text{au moins 1 verte}) = \frac{16}{21}$. \\
\hline
& 2. Probabilité de tirer 3 rouges successivement sans remise. \\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\section*{Problème : (11 points)}
\subsection*{Partie I :}
Soit $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par :
\[ g(x) = x - 2\ln x \]
\hline
0,5 & 1. a) Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \) de l’intervalle \([0,+\infty[\). \\
\hline
0,5 & b) Montrer que \( g \) est décroissante sur \([0,2]\) et croissante sur \([2,+\infty[\). \\
\hline
0,5 & 2. En déduire que \( g(x)>0 \) pour tout \( x \) de l’intervalle \([0,+\infty[\). (remarquer que \( g(2)>0 \)). \\
\hline
& II- On considère la fonction numérique \( f \) définie sur l’intervalle \([0,+\infty[\) par : \[f(x)=x-(\ln x)^2.\] Soit \((C)\) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\). \\
\hline
0,75 & 1. Calculer \(\lim_{x \to 0} f(x)\) et interpréter géométriquement ce résultat. \\
\hline
& 2. a) Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x}=0\). (on pourra poser \( t=\sqrt{x} \), on rappelle que : \(\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t}=0\)) \\
\hline
0,75 & b) En déduire que \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\) et que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=1\). (remarquer que : \[f(x)=x\left(1-\frac{(\ln x)^2}{x}\right)\] ) \\
\hline
0,5 & c) Calculer \(\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x)\) puis en déduire que la courbe \((C)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\). \\
\hline
0,5 & d) Montrer que la courbe \((C)\) est au-dessous de la droite \((\Delta)\). \\
\hline
0,75 & 3. a) Montrer que : \[f'(x)=\frac{g(x)}{x}\] pour tout \( x \) de \([0,+\infty[\) et montrer que \( f \) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). \\
\hline
0,25 & b) Dresser le tableau de variations de la fonction \( f \). \\
\hline
0,5 & c) Montrer que \( y=x \) est une équation cartésienne de la tangente à la courbe \((C)\) au point d’abscisse 1. \\
\hline
0,5 & 4. Montrer que l’équation \( f(x)=0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans \([0,+\infty[\) et que \(\frac{1}{e}<\alpha<\frac{1}{2}\) (on admet que \((\ln 2)^2<\frac{1}{2}\)). \\
\hline
1 & 5. Tracer la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\). (on admet que \( I(e,e-1)\) est un point d’inflexion de la courbe \((C)\) et on prendra \\
\hline
\end{tabular}
& $e \approx 2,7$. \\
\hline
0,5 & 6. a) Montrer que $H : x \mapsto x \ln x - x$ est une fonction primitive de la fonction $\ln : x \mapsto \ln x$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$ puis montrer que : \[ \int_1^e \ln x \, dx = 1. \] \\
\hline
0,75 & b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ \int_1^e (\ln x)^2 \, dx = e - 2. \] \\
\hline
0,5 & c) Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C)$, la droite $(\Delta)$ et les deux droites d'équations : $x = 1$ et $x = e$. \\
\hline
& III- On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : \\
& $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. \\
\hline
0,75 & 1. Montrer que $1 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ (on pourra utiliser le résultat de la question II-3. a)). \\
\hline
0,5 & 2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. \\
\hline
0,75 & 3. En déduire que $(u_n)$ est convergente puis déterminer sa limite. \\
\hline
\end{tabular}