\section*{Exercice 1 : (3 points)}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation :
\[ z^2 - 8z + 17 = 0. \]
\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$, les deux points A et B d'affixes respectives : $a = 4 + i$ et $b = 8 + 3i$. Soit $z$ l'affixe d'un point M du plan et $z'$ l'affixe du point M' image de M par la rotation R de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega = 1 + 2i$ et d'angle $\frac{3\pi}{2}$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] (0,75 pt) Montrer que : $z' = -iz - 1 + 3i$.
\item[(b)] (0,75 pt) Vérifier que l'affixe du point C image du point A par la rotation R est $c = -i$.
\item[(c)] (0,75 pt) Montrer que : $b - c = 2(a - c)$ puis en déduire que les points A, B et C sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2 : (3 points)}
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, le plan $P$ d'équation $x + 2y + z - 1 = 0$ et la sphère $S$ d'équation :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 2z + 5 = 0. \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que le centre de la sphère $S$ est le point $I(2, 3, -1)$ et son rayon est 3.
\item
\begin{enumerate}
\item[(a)] Montrer que la distance du point I au plan $P$ est $\sqrt{6}$.
\item[(b)] En déduire que le plan $P$ coupe la sphère $S$ suivant un cercle $\Gamma$ de rayon $\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[(a)] Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par I et orthogonale à $P$.
\item[(b)] Montrer que le centre du cercle $\Gamma$ est le point $H(1, 1, -2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
Une urne contient quatre boules blanches et trois boules rouges (les boules sont indiscernables au toucher). On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer trois boules blanches ?
\item Montrer que la probabilité de tirer trois boules de même couleur est $\frac{1}{7}$.
\item Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au moins ?
\end{enumerate}
\section*{Exercice 4 : (3 points)}
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 3}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
\section*{Exercice 4 : (3 points)}
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 3}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $u_n > 1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
\item On pose : $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{3}{5}$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item[(b)] Montrer que $u_n = \frac{2}{2 - \left( \frac{3}{5} \right)^n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ puis calculer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Problème : (8 points)}
\subsection*{Partie I}
On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = e^{2x} - 2x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis montrer que $g$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et décroissante sur $]-\infty, 0]$.
\item En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (remarquer que $g(0) = 1$)
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x) = \ln(e^{2x} - 2x).\]
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{I}, \vec{J})$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[(a)] Montrer que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
\item[(b)] Vérifier que
\[\frac{f(x)}{x} = \frac{e^{2x}}{x} - 2 \frac{\ln(e^{2x} - 2x)}{e^{2x} - 2x}\]
pour tout $x$ de $\mathbb{R}^*$.
\item[(c)] Montrer que $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ (on rappelle que : $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$).
\item[(d)] En déduire que la courbe $(C)$ admet, au voisinage de $-\infty$, une branche parabolique dont on précisera la direction.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item[(a)] Pour tout $x$ de $[0, +\infty[$, vérifier que :
\[1 - \frac{2x}{e^{2x}} > 0 \text{ et que } 2x + \ln\left(1 - \frac{2x}{e^{2x}}\right) = f(x).\]
\item[(b)] En déduire que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (on rappelle que: $\lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u} = +\infty$)
\item[(c)] Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x$ est une asymptote oblique à la courbe $(C)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II (suite)}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} % Pour continuer la numérotation
\item[(c)] (0,75 pt) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x$ est une asymptote oblique à la courbe $(C)$ au voisinage de $+\infty$.
\item[(d)] (0,75 pt) Montrer que : $f(x) - 2x \leq 0$ pour tout $x$ de $[0, +\infty[$ et en déduire que $(C)$ est en-dessous de $(D)$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$.
\item[3.]
\begin{enumerate}
\item[(a)] (0,75 pt) Montrer que : $f'(x) = \frac{2(e^{2x} - 1)}{g(x)}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
\item[(b)] (0,5 pt) Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item[4.] (1 pt) Tracer $(D)$ et $(C)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. (on admet que la courbe $(C)$ a deux points d'inflexion).
\end{enumerate}
\end{document}
