Exercice 1 : (2,5 points)}
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{u_n^3}{3u_n^2 + 1}, \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
\]
    - Montrer que \(u_n > 0\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
    - Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
    - En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
    - Montrer que \(u_{n+1} \leq \frac{1}{3} u_n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
    - En déduire que \(u_n \leq \left( \frac{1}{3} \right)^n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\), puis calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).

- Exercice 2 : (3,5 points)}
On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\), les points \(A(1,2,-2)\), \(B(0,3,-3)\), \(C(1,1,-2)\), et le plan \((P)\) d’équation :
\[
x + y - 3 = 0.
\]
    - Calculer la distance du point \(\Omega(0,1,-1)\) au plan \((P)\).
    - En déduire qu’une équation cartésienne de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,1,-1)\) et tangente au plan \((P)\) est :
    \[
    x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 2z = 0.
    \]
    - Déterminer \(\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}\), puis en déduire que les points \(A\), \(B\), et \(C\) ne sont pas alignés.
    - Montrer que : \(x - z - 3 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

    - Vérifier que la sphère \((S)\) est tangente au plan \((ABC)\).
    - Calculer la distance \(\Omega C\) et en déduire le point de contact de \((S)\) et le plan \((ABC)\).

- Exercice 3 : (3 points)}
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante :
\[
(E) : 2z^2 - 2iz - 1 = 0.
\]

    - Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\). (\(z_1\) et \(z_2\) sont les deux solutions avec \(\Re(z_1) > 0\)).
    - Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.

  - Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(S\) d’affixes :
  \[
  a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i, \quad b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i, \quad s = i.
  \]

    - Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(\dfrac{a - s}{b - s}\).
    - En déduire que le triangle \(SAB\) est équilatéral et rectangle en \(S\).
    - Montrer que le quadrilatère \(OASB\) est un carré.

- Exercice 4 : (3 points)}

Un sac \(U_1\) contient :

  - Deux jetons portant le nombre 1
  - Quatre jetons portant le nombre 2

Un autre sac \(U_2\) contient :

  - Trois boules rouges
  - Quatre boules vertes
  - Calculer la probabilité des événements :

    - A : "Le jeton tiré porte le nombre 1"
    - B : "Le jeton tiré porte le nombre 2"

  - On effectue l'expérience suivante :

    - On tire un jeton du sac \(U_1\) et note le nombre
    - Si ce nombre est 1, on tire une boule du sac \(U_2\)
    - Si ce nombre est 2, on tire simultanément deux boules du sac \(U_2\)

  Soit \(n\) le nombre de boules rouges tirées, et \(E_n\) l’événement "tirer exactement \(n\) boules rouges".
    - Montrer que :
    \[
    P(E_1) = \frac{11}{21}, \quad P(E_2) = \frac{2}{21}.
    \]
    - Calculer \(P(A \mid E_1)\), la probabilité de \(A\) sachant que \(E_1\) est réalisé.

- Exercice 5 : (8 points)}

Soit \(f : x \mapsto \ln(x^2 - 2x + 2)\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative.
    - Vérifier que :
    \[
    x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1.
    \]
    - En déduire que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), puis calculer :
    \[
    \lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x).
    \]

  -  Montrer que \(f(2 - x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), puis en déduire que la droite \(x = 1\) est un axe de symétrie de \((\mathcal{C})\).
    - Vérifier que :
    \[
    f(x) = 2 \ln(x) + \ln\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}\right), \quad \text{pour tout } x \in [1, +\infty[.
    \]
    - En déduire que :
    \[
    \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0
    \]
    et interpréter géométriquement ce résultat.
     - Montrer que :
    \[
    f'(x) = \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 + 1}.
    \]
    - Donner le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
    - Montrer que :
    \[
    f''(x) = \frac{2x(2 - x)}{((x - 1)^2 + 1)^2}.
    \]
    - Étudier la concavité de \((\mathcal{C})\).

  - Construire la courbe \((\mathcal{C})\).

  - Soit \(h = f_{|[1,+\infty[}\).

    - Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on précisera.
    - Déterminer \(h^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\).
     - En posant \(t = x - 1\), montrer que :
    \[
    \int_0^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt.
    \]
    - Par intégration par parties, montrer que :
    \[
    \int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt = \ln 2 - 2 \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt.
    \]
    - Montrer que :
    \[
    \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt = 1 - \frac{\pi}{4}.
    \]
    (Remarque : \(\frac{t^2}{1 + t^2} = 1 - \frac{1}{1 + t^2}\))
    - En déduire l’aire du domaine plan délimité par :

      - la courbe \((\mathcal{C})\)
      - l’axe des abscisses
      - les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\)