\section*{Exercice 1 : Géométrie dans l'espace \hfill (3 points)}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(-1,0,3)$, $B(3,0,0)$ et $C(7,1,-3)$ et la sphère $S$ d'équation :
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y - 15 = 0. \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC} = 3\vec{i} + 4\vec{k}$ et en déduire que $3x + 4z - 9 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\item Montrer que le centre de la sphère $S$ est le point $\Omega(3,1,0)$ et que son rayon est $5$.
\item Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Démontrer qu'une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est :
\[
\begin{cases}
x = 3 + 3t \\
y = 1 \\
z = 4t
\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})
\]
\item Démontrer que $(\Delta)$ coupe $S$ aux points $E(6,1,4)$ et $F(0,1,-4)$.
\section*{Exercice 2 : Nombres complexes \hfill (3 points)}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :
\[ z^2 - 6z + 10 = 0. \]
\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
\[ a = 3 - i, \quad b = 3 + i, \quad c = 7 - 3i. \]
Soit $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ d'affixe $z$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que : $z' = iz + 2 - 4i$.
\item Vérifier que l'affixe de $C' = R(C)$ est $c' = 5 + 3i$.
\item Montrer que :
\[ \frac{c' - b}{c - b} = \frac{1}{2} \]
puis en déduire que le triangle $BCC'$ est rectangle en $B$ et que $BC = 2BC'$.
\section*{Exercice 3 : Probabilités \hfill (3 points)}
Une urne contient :
\begin{itemize}
\item 5 boules blanches
\item 3 boules rouges
\item 2 boules noires
(les boules sont indiscernables au toucher). On tire simultanément 4 boules.
\item On considère les événements :
\begin{itemize}
\item $A$ : "Tirer exactement une boule rouge"
\end{itemize}
% La suite de l'exercice semble incomplète dans l'original
\section*{Exercice 3 : Probabilités (suite) \hfill (3 points)}
\begin{enumerate}[resume]
\item On considère les événements :
\begin{itemize}
\item $A$ : "Tirer exactement une boule rouge"
\item $B$ : "Tirer au moins une boule blanche"
\end{itemize}
Montrer que :
\[ P(A) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad P(B) = \frac{41}{42} \]
\item Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de boules rouges tirées.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Vérifier que $X$ prend les valeurs : $0, 1, 2, 3$.
\item Montrer que :
\[ P(X=2) = \frac{3}{10} \quad \text{et} \quad P(X=0) = \frac{1}{6} \]
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 4 : Suites numériques \hfill (3 points)}
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
\[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{3u_n - 1}{2u_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que $u_n - 1 > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
\item On définit la suite $(v_n)$ par :
\[ v_n = \frac{u_n - 1}{2u_n - 1} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et que :
\[ v_n = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n \]
\item Montrer que :
\[ u_n = \frac{v_n - 1}{2v_n - 1} \]
et en déduire $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.
\end{enumerate}
\item Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ où $v_n = \ln(u_n)$.
\end{enumerate}
\section*{Exercice 5 : Étude de fonction \hfill (8 points)}
\subsection*{Partie I}
Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ g(x) = 1 + 4xe^{2x} \]
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[ g'(x) = 4(2x + 1)e^{2x} \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
\item Étudier les variations de $g$ :
\begin{itemize}
\item Croissante sur $\left[-\frac{1}{2}, +\infty\right[$
\item Décroissante sur $\left]-\infty, -\frac{1}{2}\right]$
\end{itemize}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que :
\[ g\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{2}{e} \]
et vérifier que $g\left(-\frac{1}{2}\right) > 0$.
\section*{Exercice 5 : Étude de fonction (suite) \hfill (8 points)}
\subsection*{Partie I (suite)}
\begin{enumerate}[resume]
\item[3.b)] En déduire que :
\[ g(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ f(x) = (2x-1)e^{2x} + x + 1 \]
et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$ ($\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2$ cm).
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites :
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty \]
\textit{Rappel :} $\lim_{u\to+\infty} u e^u = 0$
\item Montrer que :
\[ f'(x) = g(x) \quad \forall x \in \mathbb{R} \]
En déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} \]
En déduire que $(C)$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe $(Oy)$.
\item Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty} [f(x)-(x+1)] \]
En déduire que la droite $(\Delta): y = x+1$ est asymptote à $(C)$ en $-\infty$.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(\Delta)$ et $(C)$.
Montrer que :
\begin{itemize}
\item $(C)$ est en-dessous de $(\Delta)$ sur $\left]-\infty, \frac{1}{2}\right]$
\item $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $(T): y = x$ est la tangente à $(C)$ en $O$.
\item Montrer que $(C)$ admet un point d'inflexion en $x=-\frac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item Construire dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$ :
\begin{itemize}
\item Les droites $(\Delta)$ et $(T)$
\item La courbe $(C)$
\end{itemize}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Par intégration par parties, montrer que :
\[ \int_0^{\frac{1}{2}} (2x-1)e^{2x}dx = 1 - \frac{e}{2} \]
\item Montrer que l'aire du domaine délimité par :
\begin{itemize}
\item La courbe $(C)$
\item La tangente $(T)$
\item Les droites $x=0$ et $x=\frac{1}{2}$
\end{itemize}
vaut $(6-2e)$ cm$^2$.