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  Fractions Décimales

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    Fractions Décimales 

    POINTS IMPORTANTS 
    Fraction Décimale :  Une fraction dont le dénominateur est 10 ou une puissance supérieure de 10, par exemple 100, 1 000, 10 000, etc., est appelée fraction décimale.

    Nombre de Décimales :  Le nombre de chiffres dans la partie décimale d'un nombre est le nombre de décimales qu'il contient.

    Lorsque le nombre donné n'a qu'une partie décimale, il est toujours précédé d'un 0, comme 0,7, 0,55, etc.

    Conversion d'une Fraction en Fraction Décimale : 

    
        * Lorsque le dénominateur est 10, 100, 1 000, 10 000, etc. : En comptant de droite à gauche du numérateur de la fraction donnée, placez la virgule décimale après autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le dénominateur.
        \[
        \frac{2}{10} = 0,2, \quad \frac{24}{1000} = 0,024; \quad \frac{221}{100} = 2,21
        \]

        * Lorsque le dénominateur n'est pas 10, 100, 1 000, 10 000, etc. : Multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par un nombre approprié pour obtenir un dénominateur de 10 ou une puissance de 10, puis procédez comme ci-dessus.
        \[
        \frac{1}{2} = \frac{1 \times 50}{2 \times 50} = \frac{50}{100} = 0,50 = 0,5,
        \]
        \[
        \frac{2}{25} = \frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = 0,08
        \]

        * Conversion d'une Fraction Décimale en Fraction Non Décimale : Supprimez la virgule décimale et écrivez 1 au dénominateur, suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie décimale.
        \[
        0,42 = \frac{42}{100}, \quad 0,031 = \frac{31}{1000},
        \]
        \[
        3,79 = \frac{379}{100} = 3,79, \quad 100
        \]
        \[
        10^2 = 10 \times 10, \quad 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000,
        \]
        \[
        10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1\,00\,000
        \]
    
    

    Un ou plusieurs zéros écrits à droite d'un nombre décimal ne changent pas sa valeur, par exemple 3,4 est identique à 3,40, 3,400, 3,4000, etc.

    Question 1.
    Écrivez le nombre de décimales dans chacun des nombres suivants :  
    
        *[(i)] 7,03
        *[(ii)] 0,509
        *[(iii)] 146,2

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    Fractions Décimales

    Question 1
    
        * iv)] 0,0065
        * v)] 8,03207
    
    

    Solution :
    
        * i)] 7,03, la partie décimale est ,03 qui contient deux chiffres. 
        Le nombre 7,03 a 2 décimales.
        
        * ii)] 0,509, la partie décimale est 0,509 qui contient trois chiffres. 
        Le nombre 0,509 a 3 décimales.
        
        * iii)] 146,2, la partie décimale est ,2 qui contient un chiffre. 
        Le nombre 146,2 a 1 décimale.
        
        * iv)] 0,0065, la partie décimale est ,0065 qui contient quatre chiffres. 
        Le nombre 0,0065 a 4 décimales.
        
        * v)] 8,03207, la partie décimale est ,03207 qui contient cinq chiffres. 
        Le nombre 8,03207 a 5 décimales.

    Question :
    Convertissez les fractions décimales non semblables en fractions décimales semblables :
    
        * i)] 1,36, 239,8 et 47,008
        * ii)] 507,0752, 8,52073 et 0,808
        * iii)] 459,22, 7,03093 et 0,200037
    
    

    Solution :
    
        * i)] 
        \[
        1,36 = 1,360
        \]
        \[
        239,8 = 239,800
        \]
        \[
        47,008 = 47,008
        \]
        
        * ii)] 
        \[
        507,0752 = 507,07520
        \]
        \[
        8,52073 = 8,52073
        \]
        \[
        0,808 = 0,80800
        \]
        
        * iii)] 
        \[
        459,22 = 459,220000
        \]
        \[
        7,03093 = 7,030930
        \]
        \[
        0,200037 = 0,200037
        \]
    
    

    Question 3.
    Convertissez chacune des fractions suivantes en fraction décimale :
    (i) \( \frac{7}{10} \) 
     (ii) \( \frac{47}{10} \) 
     (iii) \( \frac{343}{100} \) 
    (iv) \( \frac{3}{10^3} \) 
    
    
    
    

  • Select activity \documentclass{article}\usepackage{amsmath} \begin...

    Question 3.
    Solution :
    \[
    (i) \frac{7}{10} = 0,7 \quad (ii) \frac{47}{10} = 4,7
    \]
    \[
    (iii) \frac{343}{100} = 3,43
    \]
    \[
    (iv) \frac{3}{10^3} = \frac{3}{10 \times 10 \times 10} = \frac{3}{1000} = 0,003
    \]
    \[
    (v) \frac{7295}{10^5} = \frac{7295}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}
    \]
    \[
    = \frac{7295}{100000} = 0,07295
    \]
    \[
    (vi) \frac{289}{10^6} = \frac{289}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}
    \]
    \[
    = \frac{289}{1\,000\,000} = 0,000289
    \]
    \[
    (vii) 95 \text{ centièmes} = \frac{95}{100} = 0,95
    \]

    Question 4.
    Convertissez en fraction décimale :
    \[
    (i) \frac{3}{4} \quad (ii) \frac{3}{40} \quad (iii) \frac{1}{125} \quad (iv) \frac{7}{25}
    \]

    Solution :
    \[
    (i) \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75
    \]
    \[
    (ii) \frac{3}{40} = \frac{3 \times 25}{40 \times 25} = \frac{75}{1000} = 0,075
    \]
    \[
    (iii) \frac{1}{125} = \frac{1 \times 8}{125 \times 8} = \frac{8}{1000} = 0,008
    \]
    \[
    (iv) \frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{100} = 0,28
    \]

    Question 5:
    Convertissez les fractions décimales données en fractions sous leur forme la plus simple :
    
        *i)] 0,05
        *ii)] 3,95
        *iii)] 4,005
        *iv)] 0,876
        *v)] 50,06
        *vi)] 0,01075
        *vii)] 4,8806

  • Select activity Fractions Décimales

    
        * i)] \( 0,05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} \)
        * ii)] \( 3,95 = \frac{395}{100} = \frac{79}{20} = 3+\frac{19}{20} \)
        * iii)] \( 4,005 = \frac{4005}{1000} = \frac{801}{200} = 4+\frac{1}{200} \)
        * iv)] \( 0,876 = \frac{876}{1000} = \frac{219}{250} \)
        * v)] \( 50,06 = \frac{5006}{100} = \frac{2503}{50} = 50+\frac{3}{50} \)
        * vi)] \( 0,01075 = \frac{1075}{100000} = \frac{43}{4000} \)
        * vii)] \( 4,8806 = \frac{48806}{10000} = \frac{24403}{5000} = 4+\frac{4403}{5000} \)
    
    

    EXERCICE: 

    Question : 
    Additionnez les nombres suivants :
    
        * i)] \( 0,243 \), \( 2,47 \) et \( 3,009 \)
        * ii)] \( 0,0736 \), \( 0,6095 \) et \( 0,9107 \)
        * iii)] \( 1,01 \), \( 257 \) et \( 0,200 \)
        * iv)] \( 18 \), \( 200,35 \), \( 11,72 \) et \( 2,3 \)
        * v)] \( 0,586 \), \( 0,0586 \) et \( 0,00586 \)
    
    

     Solution :
    
        * i)] 
        \[
        0,243 + 2,470 + 3,009 = 5,722
        \]
        
        * ii)] 
        \[
        0,0736 + 0,6095 + 0,9107 = 1,5938
        \]
        
        * iii)] 
        \[
        1,010 + 257,000 + 0,200 = 258,210
        \]
        
        * iv)] 
        \[
        18,00 + 200,35 + 11,72 + 2,30 = 232,37
        \]
        
        * v)] 
        \[
        0,58600 + 0,05860 + 0,00586 = 0,65046
        \]

  • Select activity Fractions Décimales

     Question : 
    De la somme de 75,75 et 4,9, soustrayez 28,465.

    Solution : 

    Première opération (addition)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 75,750 \\
    + & \ \,4,900 \\
    \hline
     & 80,650 \\
    \end{array}
    \]

     Deuxième opération (soustraction)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 80,650 \\
    - & 28,465 \\
    \hline
     & 52,185 \\
    \end{array}
    \]

    Question: 
    Soustrayez la somme de 8,14 et 12,9 de 32,7.

    Solution : 

     Première addition
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,8,14 \\
    + & 12,90 \\
    \hline
     & 21,04 \\
    \end{array}
    \]

    Deuxième soustraction
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 32,70 \\
    - & 21,04 \\
    \hline
     & 11,66 \\
    \end{array}
    \]

    Question : 
    Soustrayez la somme de 34,27 et 159,8 de la somme de 20,937 et 200,6.

    Solution : 

     Première addition (colonne 1)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,34,270 \\
    + & 159,800 \\
    \hline
     & 194,070 \\
    \end{array}
    \]

    Deuxième addition (colonne 2)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,20,937 \\
    + & 200,600 \\
    \hline
     & 221,537 \\
    \end{array}
    \]

     Soustraction (colonne 3)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & -221,537 \\
    - & -194,070 \\
    \hline
     & \ \,27,467 \\
    \end{array}
    \]

    Question : 
    De la somme de 2,43 et 4,349, soustrayez la somme de 0,8 et 3,15.

    Solution : 

     Première addition (colonne 1)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,2,430 \\
    + & \ \,4,349 \\
    \hline
     & \ \,6,779 \\
    \end{array}
    \]

    Deuxième addition (colonne 2)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,0,800 \\
    + & \ \,3,150 \\
    \hline
     & \ \,3,950 \\
    \end{array}
    \]

     Soustraction (colonne 3)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & \ \,6,779 \\
    - & \ \,3,950 \\
    \hline
     & \ \,2,829 \\
    \end{array}
    \]

    Question : 
    De combien la somme de 18,0495 et 34,9644 dépasse-t-elle la somme de 7,6752 et 24,876 ?

    Solution :

     Première opération (addition)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 18,0495 \\
    + & 34,9644 \\
    \hline
     & 53,0139 \\
    \end{array}
    \]

     Deuxième opération (addition)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 7,6752 \\
    + & 24,8760 \\
    \hline
     & 32,5512 \\
    \end{array}
    \]

     Troisième opération (soustraction)
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 53,0139 \\
    - & 32,5512 \\
    \hline
     & 20,4627 \\
    \end{array}
    \]

  • Select activity Fractions Décimales

    Question: 
    Quel est le plus petit nombre qui doit être ajouté à 89,376 pour obtenir 1000 ?

    Solution :

     Soustraction alignée avec virgules décimales
    \[
    \begin{array}{r @{\,} r}
     & 1000,000 \\
    - & \ \,89,376 \\
    \hline
     & \ \,910,624 \\
    \end{array}
    \]

    
    Le nombre à ajouter pour obtenir 1000 est 910,624.

    Question : 
    Multipliez :
    
        i)] 5,6 et 8
        ii)] 38,46 et 9
        iii)] 0,943 et 62
        iv)] 0,0453 et 35
        v)] 7,5 et 2,5
        vi)] 4,23 et 0,8
        vii)] 83,54 et 0,07
        viii)] 0,636 et 1,83
        ix)] 6,4564 et 1000
        x)] 0,076 et 100
    
    

    Solution : 
    
        i)] \( 5,6 \times 8 = 44,8 \)
        ii)] \( 38,46 \times 9 = 346,14 \)
        iii)] \( 0,943 \times 62 = 58,466 \)
        iv)] \( 0,0453 \times 35 = 1,5855 \)
        v)] \( 7,5 \times 2,5 = 18,75 \)
        vi)] \( 4,23 \times 0,8 = 3,384 \)
        vii)] \( 83,54 \times 0,07 = 5,8478 \)
        viii)] \( 0,636 \times 1,83 = 1,16388 \)
        ix)] \( 6,4564 \times 1000 = 6456,4 \)
        x)] \( 0,076 \times 100 = 7,6 \) 

  • Select activity Fractions Décimales

    
        iii)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        943 \\
        \times 62 \\
        \hline
           1886 \\
        5658 0\\
        \hline
        58466 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 943 \times 62 = 58\,466 \), 
        donc \( 0,943 \times 62 = 58,466 \).

        iv)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        453 \\
        \times 35 \\
        \hline
          2 2 6 5 \\
       1 3 5  9 0\\
        \hline
        1 5 8  5 5 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 453 \times 35 = 15\,855 \), 
        donc \( 0,0453 \times 35 = 1,5855 \).

        v)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        75 \\
        \times 25 \\
        \hline
          375 \\
        150 0 \\
        \hline
        1875 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 75 \times 25 = 1\,875 \), 
        donc \( 7,5 \times 2,5 = 18,75 \).

  • Select activity Fractions Décimales

    
    
        iii)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        943 \\
        \times 62 \\
        \hline
        1886 \\
        56580 \\
        \hline
        58466 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 943 \times 62 = 58\,466 \), 
        donc \( 0,943 \times 62 = 58,466 \).

        iv)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        453 \\
        \times 35 \\
        \hline
        2265 \\
        13590  \\
        \hline
        15855 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 453 \times 35 = 15\,855 \), 
        donc \( 0,0453 \times 35 = 1,5855 \).

        v)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        75 \\
        \times 25 \\
        \hline
        375 \\
        1500 \\
        \hline
        1875 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 75 \times 25 = 1\,875 \), 
        donc \( 7,5 \times 2,5 = 18,75 \).

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  • Select activity Fractions Décimales

    
        v)] 
        Puisque \( 75 \times 25 = 1\,875 \), 
        donc \( 7,5 \times 2,5 = 18,75 \).

        vi)] 
        Puisque \( 423 \times 8 = 3\,384 \), 
        donc \( 4,23 \times 0,8 = 3,384 \).

        vii)] 
        Puisque \( 8\,354 \times 7 = 58\,478 \), 
        donc \( 83,54 \times 0,07 = 5,8478 \).

        viii)] 
        \[
        \begin{array}{r}
        636 \\
        \times 183 \\
        \hline
        1\,908 \\
        5\,088 0 \\
        636 00 \\
        \hline
        116\,388 \\
        \end{array}
        \]
        Puisque \( 636 \times 183 = 116\,388 \), 
        donc \( 0,636 \times 1,83 = 1,16388 \).

        ix)] 
        Puisque \( 64\,564 \times 1\,000 = 64\,564\,000 \), 
        donc \( 6,4564 \times 1\,000 = 64\,564 \).

        x)] 
        Puisque \( 76 \times 100 = 7\,600 \), 
        donc \( 0,076 \times 100 = 7,6 \).
    
    

    Question : 
    Évaluez :
    
        i)] \( 0,0008 \times 26 \)
        ii)] \( 0,038 \times 95 \)
        iii)] \( 1,2 \times 2,4 \times 3,6 \)
        iv)] \( 0,9 \times 1,8 \times 0,27 \)
        v)] \( 1,5 \times 1,5 \times 1,5 \)
        vi)] \( 0,025 \times 0,025 \)
        vii)] \( 0,2 \times 0,002 \times 0,001 \)
    
    

    Solution :
    
        i)] 
        Puisque \( 8 \times 26 = 208 \), \\
        donc \( 0,0008 \times 26 = 0,0208 \).

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