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  Exercice 1

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    Exercice 1 :

    Soit la suite \[(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\] définie par :
    \[
    \begin{cases} 
    U_1 = \frac{5}{2} \\ 
    \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n) 
    \end{cases}
    \]

     1) Montrer que   \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3    \]

    - Preuve par récurrence : 
    
        * Initialisation : Pour \( n = 1 \), on a \( U_1 = \frac{5}{2} < 3 \). La propriété est donc vérifiée pour \( n = 1 \).
        * Hérédité : Supposons que pour un certain \( n \), on a \( U_n < 3 \). Montrons que \( U_{n+1} < 3 \).
        \[
        U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
        \]
        Comme \( U_n < 3 \), il en résulte que \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \[\frac{n}{2(n+1)} > 0\], donc \[U_{n+1} = 3 - \] une quantité positive, ce qui implique que \[U_{n+1} < 3\].
    
    Par récurrence, on conclut que \[\forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3\].

    2-a) Justifier que \[U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n)\] 

    * Calcul : 
    \[
    U_{n+1} - U_n = \left(3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)\right) - U_n
    \]
    \[
    = 3 - U_n - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
    \]
    \[
    = (3 - U_n) \left(1 - \frac{n}{2(n+1)}\right)
    \]
    \[
    = (3 - U_n) \frac{n+2}{2(n+1)}
    \]

     2-b) Étudier la monotonie de \[(U_n)\]

    On a \( U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n) \). Comme \( U_n < 3 \), on a \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \( \frac{n+2}{2(n+1)} > 0 \). Ainsi, \( U_{n+1} - U_n > 0 \), donc la suite \( (U_n) \) est strictement croissante.

    3)

    Montrer que \( (U_n) \) est convergente :

    La suite \( (U_n) \) est croissante et majorée par 3.

    D'après le théorème de la convergence monotone, elle est donc convergente.

    4)Étude de la suite \( V_n = n(3 - U_n) \) :

    a)Montrer que \( (V_n) \) est une suite géométrique :

    - Calcul de \( V_{n+1} \) :
    \[
    V_{n+1} = (n+1)(3 - U_{n+1})
    \]
    En utilisant l'expression de \( U_{n+1} \), on obtient :
    \[
    V_{n+1} = (n+1) \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n) = \frac{n}{2} (3 - U_n) = \frac{V_n}{2}
    \]
    Ainsi, \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \).

    b) Calculer \( V_n \) en fonction de \( n \) :

    Puisque \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \) et de premier terme \( V_1 = \frac{1}{2} \), on a :
    \[
    V_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n
    \]

    5-a) 

    En déduire l'expression du terme général de \( (U_n) \) :

    On a \( V_n = n(3 - U_n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \), soit :

    \[
    3 - U_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}
    \]
    \[
    U_n = 3 - \frac{1}{n \cdot 2^n}
    \]

    b) Calculer la limite de \( (U_n) \) :

    Comme \[\frac{1}{n \cdot 2^n} \to 0\] lorsque \[n \to +\infty\], on en déduit que :
    \[
    \lim_{n \to +\infty} U_n = 3
    \]

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  Exercice 2

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    Exercice 2:

    Le but du problème est d'étudier la fonction \( f \) définie par :
    \[
    \begin{cases} 
    \forall x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[; f(x) = \frac{x}{x-1} \times \ln x \\ 
    f(0) = 0 \text{ et } f(1) = 1 
    \end{cases}
    \]

    Partie A :

    On considère la fonction \( g \) dérivable sur \( ]0 ; +\infty[ \) et définie par :
    \[
    g(x) = (x - 2) \ln x + (x + 1)
    \]

    1) Démontrer que pour tout réel \( x \) élément de \( ]0 ; +\infty[ \) : \( g'(x) = \frac{2(x-1)}{x} + \ln x \)}

     Solution :
    Calculons la dérivée de \( g \) :
    \[
    g'(x) = \frac{d}{dx}[(x - 2) \ln x] + \frac{d}{dx}[x + 1]
    \]
    \[
    = \ln x + (x - 2) \cdot \frac{1}{x} + 1
    \]
    \[
    = \ln x + \frac{x - 2}{x} + 1
    \]
    \[
    = \ln x + \frac{2(x - 1)}{x}
    \]

    2) Étudier le sens de variation de \( g \). puis dresser son tableau de variation.

     Solution :
    Pour étudier le sens de variation de \( g \), on étudie le signe de \( g'(x) \).

    \[
    g'(x) = \frac{2(x - 1)}{x} + \ln x
    \]

    
        * Pour \( x \in ]0; 1[ \), \( \ln x < 0 \) et \( \frac{2(x - 1)}{x} < 0 \), donc \( g'(x) < 0 \).
        * Pour \( x = 1 \), \( g'(1) = 0 \).
        * Pour \( x \in ]1; +\infty[ \), \( \ln x > 0 \) et \( \frac{2(x - 1)}{x} > 0 \), donc \( g'(x) > 0 \).
    
    

    Ainsi, \( g \) est décroissante sur \( ]0; 1[ \) et croissante sur \( ]1; +\infty[ \).

    3) Déduire de 2) que \( g(x) \) est positif pour tout réel \( x \) élément de \( ]0 ; +\infty[ \)

    Solution :
    Puisque \( g \) est décroissante sur \( ]0; 1[ \) et croissante sur \( ]1; +\infty[ \), et que \( g(1) = 0 \), on a \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \).

    Partie B:

    1-a) Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)

    Solution :
    Calculons la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) :
    \[
    f(x) = \frac{x}{x - 1} \ln x
    \]
    \[
    \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x - 1} = 1
    \]
    \[
    \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty
    \]
    Donc, \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \).

    b) Démontrer que \( f \) est continue à droite en 0 et continue en 1.

    Solution :
    
        * Continuité à droite en 0 :} On a \( f(0) = 0 \). Calculons \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) :
        \[
        \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x - 1} \ln x = 0 \times (-\infty) = 0
        \]
        Donc, \( f \) est continue à droite en 0.
        
        * Continuité en 1 :  On a \( f(1) = 1 \). Calculons \( \lim_{x \to 1} f(x) \) :
        \[
        \lim_{x \to 1} \frac{x}{x - 1} \ln x = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1
        \]
        Donc, \( f \) est continue en 1.
    
    

    c) Calculer le nombre dérivé de \( f \) à droite en 0.

    Solution :
    Calculons la dérivée à droite de \( f \) en 0 :
    \[
    f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{x - 1} \ln x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x - 1} = 0
    \]

    d) En déduire une équation de la tangente à \( (C) \) de \( f \) au point d'abscisse 1.

    Solution :
    On a \( f'(1) = \frac{3}{2} \). L'équation de la tangente en \( x = 1 \) est :
    \[
    y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \frac{3}{2}(x - 1)
    \]
    \[
    y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
    \]

    2-a) Démontrer que pour tout \( x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[; f'(x) = \frac{x}{(x-1)^2} \times g(x) \)

    Solution :
    Calculons la dérivée de \( f \) :
    \[
    f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x - 1} \ln x\right)
    \]
    \[
    = \frac{(1)(x - 1) - x(1)}{(x - 1)^2} \ln x + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{1}{x}
    \]
    \[
    = \frac{-1}{(x - 1)^2} \ln x + \frac{1}{x - 1}
    \]
    \[
    = \frac{1}{x - 1} - \frac{\ln x}{(x - 1)^2}
    \]
    \[
    = \frac{(x - 1) - \ln x}{(x - 1)^2}
    \]
    \[
    = \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1)^2}
    \]
    \[
    = \frac{x}{(x - 1)^2} \times g(x)
    \]

    b) En déduire le sens de variation de \( f \) et dresser son tableau de variation.

    Solution :
    Puisque \( g(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; +\infty[ \), le signe de \( f'(x) \) dépend de \( \frac{x}{(x - 1)^2} \), qui est toujours positif. Donc, \( f'(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[ \). Ainsi, \( f \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et \( ]1; +\infty[ \).

    c) Démontrer que pour tout réel \( x \) appartenant à \( [0; 1] \), on a : \( 0 \leq f(x) \leq 1 \)

    Solution :
    Puisque \( f \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et continue en 0 et 1, on a :
    \[
    f(0) = 0 \leq f(x) \leq f(1) = 1
    \]

    d) Tracer la courbe \( (C) \)

    Solution :
    La courbe \( (C) \) est croissante sur \( ]0; 1[ \) et \( ]1; +\infty[ \), avec une tangente en \( x = 1 \) d'équation \( y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \). La demi-tangente en 0 est horizontale.