Exercice 1 :

Soit la suite \[(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\] définie par :
\[
\begin{cases} 
U_1 = \frac{5}{2} \\ 
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n) 
\end{cases}
\]

 1) Montrer que   \[ \forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3    \]

- Preuve par récurrence : 

    * Initialisation : Pour \( n = 1 \), on a \( U_1 = \frac{5}{2} < 3 \). La propriété est donc vérifiée pour \( n = 1 \).
    * Hérédité : Supposons que pour un certain \( n \), on a \( U_n < 3 \). Montrons que \( U_{n+1} < 3 \).
    \[
    U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
    \]
    Comme \( U_n < 3 \), il en résulte que \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \[\frac{n}{2(n+1)} > 0\], donc \[U_{n+1} = 3 - \] une quantité positive, ce qui implique que \[U_{n+1} < 3\].

Par récurrence, on conclut que \[\forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3\].

2-a) Justifier que \[U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n)\] 

* Calcul : 
\[
U_{n+1} - U_n = \left(3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)\right) - U_n
\]
\[
= 3 - U_n - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
\]
\[
= (3 - U_n) \left(1 - \frac{n}{2(n+1)}\right)
\]
\[
= (3 - U_n) \frac{n+2}{2(n+1)}
\]

 2-b) Étudier la monotonie de \[(U_n)\]

On a \( U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n) \). Comme \( U_n < 3 \), on a \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \( \frac{n+2}{2(n+1)} > 0 \). Ainsi, \( U_{n+1} - U_n > 0 \), donc la suite \( (U_n) \) est strictement croissante.

3)

Montrer que \( (U_n) \) est convergente :

La suite \( (U_n) \) est croissante et majorée par 3.

D'après le théorème de la convergence monotone, elle est donc convergente.

4)Étude de la suite \( V_n = n(3 - U_n) \) :

a)Montrer que \( (V_n) \) est une suite géométrique :

- Calcul de \( V_{n+1} \) :
\[
V_{n+1} = (n+1)(3 - U_{n+1})
\]
En utilisant l'expression de \( U_{n+1} \), on obtient :
\[
V_{n+1} = (n+1) \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n) = \frac{n}{2} (3 - U_n) = \frac{V_n}{2}
\]
Ainsi, \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \).

b) Calculer \( V_n \) en fonction de \( n \) :

Puisque \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \) et de premier terme \( V_1 = \frac{1}{2} \), on a :
\[
V_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n
\]

5-a) 

En déduire l'expression du terme général de \( (U_n) \) :

On a \( V_n = n(3 - U_n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \), soit :

\[
3 - U_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}
\]
\[
U_n = 3 - \frac{1}{n \cdot 2^n}
\]

b) Calculer la limite de \( (U_n) \) :

Comme \[\frac{1}{n \cdot 2^n} \to 0\] lorsque \[n \to +\infty\], on en déduit que :
\[
\lim_{n \to +\infty} U_n = 3
\]