Exercice 1 :
Soit la suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) définie par :
\(
\begin{cases}
U_1 = \frac{5}{2} \\
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
\end{cases}
\)
1) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3 \)
- Preuve par récurrence :
* Initialisation : Pour \( n = 1 \), on a \( U_1 = \frac{5}{2} < 3 \). La propriété est donc vérifiée pour \( n = 1 \).
* Hérédité : Supposons que pour un certain \( n \), on a \( U_n < 3 \). Montrons que \( U_{n+1} < 3 \).
\(
U_{n+1} = 3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
\)
Comme \( U_n < 3 \), il en résulte que \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \(\frac{n}{2(n+1)} > 0\), donc \(U_{n+1} = 3 - \) une quantité positive, ce qui implique que \(U_{n+1} < 3\).
Par récurrence, on conclut que \(\forall n \in \mathbb{N}^*, U_n < 3\).
2-a) Justifier que \(U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n)\)
* Calcul :
\(
U_{n+1} - U_n = \left(3 - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)\right) - U_n
\)
\(
= 3 - U_n - \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n)
\)
\(
= (3 - U_n) \left(1 - \frac{n}{2(n+1)}\right)
\)
\(
= (3 - U_n) \frac{n+2}{2(n+1)}
\)
2-b) Étudier la monotonie de \((U_n)\)
On a \( U_{n+1} - U_n = \frac{n+2}{2(n+1)} (3 - U_n) \). Comme \( U_n < 3 \), on a \( (3 - U_n) > 0 \). De plus, \( \frac{n+2}{2(n+1)} > 0 \). Ainsi, \( U_{n+1} - U_n > 0 \), donc la suite \( (U_n) \) est strictement croissante.
3)
Montrer que \( (U_n) \) est convergente :
La suite \( (U_n) \) est croissante et majorée par 3.
D'après le théorème de la convergence monotone, elle est donc convergente.
4)Étude de la suite \( V_n = n(3 - U_n) \) :
a)Montrer que \( (V_n) \) est une suite géométrique :
- Calcul de \( V_{n+1} \) :
\(
V_{n+1} = (n+1)(3 - U_{n+1})
\)
En utilisant l'expression de \( U_{n+1} \), on obtient :
\(
V_{n+1} = (n+1) \frac{n}{2(n+1)} (3 - U_n) = \frac{n}{2} (3 - U_n) = \frac{V_n}{2}
\)
Ainsi, \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \).
b) Calculer \( V_n \) en fonction de \( n \) :
Puisque \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \) et de premier terme \( V_1 = \frac{1}{2} \), on a :
\(
V_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n
\)
5-a)
En déduire l'expression du terme général de \( (U_n) \) :
On a \( V_n = n(3 - U_n) = \left(\frac{1}{2}\right)^n \), soit :
\(
3 - U_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}
\)
\(
U_n = 3 - \frac{1}{n \cdot 2^n}
\)
b) Calculer la limite de \( (U_n) \) :
Comme \(\frac{1}{n \cdot 2^n} \to 0\) lorsque \(n \to +\infty\), on en déduit que :
\(
\lim_{n \to +\infty} U_n = 3
\)