Exercice 1 : Concours de Médecine au Maroc

Soit \( f \) la fonction définie par :
\[ f(x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \]
Déterminer le développement limité de \( f \) à l'ordre 3 au voisinage de 0.

Solution :

Le développement limité de \( f \) à l'ordre 3 au voisinage de 0 est :
\[ f(x) = 2x + \frac{2x^3}{3} + o(x^3) \]

Exercice 2 : Concours de Médecine en France

Un patient reçoit une injection d'un médicament dont la concentration dans le sang suit la loi :
\[ C(t) = C_0 e^{-kt} \]
où \( C_0 \) est la concentration initiale et \( k \) est la constante d'élimination. Déterminer le temps nécessaire pour que la concentration soit réduite de moitié.

Solution :

Le temps nécessaire pour que la concentration soit réduite de moitié est donné par :
\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \]

Exercice 3 : Concours de Médecine au Maroc

Soit \( (u_n) \) une suite définie par :
\[ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} \]
avec \( u_0 = 1 \). Montrer que la suite \( (u_n) \) converge et déterminer sa limite.

Solution :

La suite \( (u_n) \) converge vers \( \sqrt{2} \).

Exercice 4 : Concours de Médecine en France

Un laboratoire étudie la croissance d'une population de bactéries. Le nombre de bactéries \( N(t) \) à l'instant \( t \) (en heures) est donné par :
\[ N(t) = N_0 e^{rt} \]
où \( N_0 \) est le nombre initial de bactéries et \( r \) est le taux de croissance. Si le nombre de bactéries double toutes les 3 heures, déterminer la valeur de \( r \).

Solution :

La valeur de \( r \) est :
\[ r = \frac{\ln(2)}{3} \]