Exercice:
a) Écris sous la forme \( \sqrt{ } \) chacun des réels suivants :  
\[
\sqrt{27} ; \quad \sqrt{48} ; \quad \sqrt{320} ; \quad \sqrt{144} ; \quad \sqrt{120} ; \quad \sqrt{720}
\]

b) Effectue les opérations suivantes puis mets sous une forme irréductible si possible :  
\[
\sqrt{5} \times \sqrt{6} ; \quad -\sqrt{12} \times \sqrt{18} ; \quad 2\sqrt{5} \times 5\sqrt{2} ; \quad -3\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} ; \quad 5\sqrt{6} \times \sqrt{7} ; \quad -\sqrt{14} \times 7\sqrt{10}
\]

Exercice: 
On donne les réels \( A = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \) et \( B = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \).

1. Calcule : \( A + B ; A - B ; A.B ; A^2 \) puis \( B^2 \)

2. Rends rationnel le dénominateur du réel \( x = \frac{A}{B} \)

3. Calcule la valeur du réel \( y = -18 + x + \frac{3}{19} - \frac{12\sqrt{6}}{19} \)

Exercice: 
Un entrepreneur doit bâtir une surface rectangulaire (de 1512,6 m\(^2\)) dont la longueur est le double de la largeur. Calcule les dimensions de la surface à bâtir.

Exercice: 
1. L’aire de la surface d’un carré est 12,25 dm\(^2\). Calcule la longueur du côté de ce carré.

2. Calcule le rayon d’un cercle dont le disque correspondant a pour aire 40,6944 m\(^2\).

3. Le volume d’un cylindre est 23 079 mm\(^3\). La hauteur de ce solide est 1,5 dm.

Calcule le rayon de la base de ce cylindre.

On donne \( \pi = 3,14 \).

Exercice:  
On donne \( a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)

1. Écris l’inverse de a puis rends rationnel le dénominateur de cet inverse.

2. Compare l’inverse de a et \( a - 1 \).

3. En utilisant la réponse de la question précédente, démontre que \( a^2 = a + 1 \).

Exercice

a) Écrivons sous la forme \( \sqrt{ } \) chacun des réels suivants :  
\[
\sqrt{27} = \sqrt{3} \times 9 = 3\sqrt{3} \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3} 
\]
\[
\sqrt{48} = \sqrt{16} \times 3 = 4\sqrt{3} \quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3} 
\]
\[
\sqrt{320} = \sqrt{64} \times 5 = 8\sqrt{5} \quad \sqrt{320} = 8\sqrt{5} 
\]
\[
\sqrt{144} = \sqrt{12} \times 12 = 12 \quad \sqrt{144} = 12 
\]
\[
\sqrt{120} = \sqrt{4} \times 30 = 2\sqrt{30} \quad \sqrt{120} = 2\sqrt{30} 
\]
\[
\sqrt{720} = \sqrt{144} \times 5 = 12\sqrt{5} \quad \sqrt{720} = 12\sqrt{5} 
\]

Exercice

Rendons irréductibles les résultats des opérations suivantes :

\[
\sqrt{5} \times \sqrt{6} = \sqrt{5 \times 6}
\]

\[
-\sqrt{12} \times \sqrt{18} = -\sqrt{36} \times 6
\]

\[
2\sqrt{5} \times 5\sqrt{2} = (2 \times 5)\sqrt{5} \times 2
\]

\[
-3\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = -6\sqrt{3} \times 2
\]

\[
5\sqrt{6} \times \sqrt{7} = 5\sqrt{6} \times 7
\]

\[
-\sqrt{14} \times 7\sqrt{10} = -7\sqrt{4} \times 35
\]

Exercice

Avec \( A = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \) et \( B = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \)

1. Effectuons les opérations : 

\[
A + B = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3}(3 + 3)
\]

\[
A - B = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(2 + 2)
\]

\[
A \cdot B = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}
\]

\[
A \cdot B = 27 - 8 = 19
\]

\[
A^2 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})
\]

\[
A^2 = 27 + 12\sqrt{6} + 8
\]

\[
B^2 = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})
\]

\[
B^2 = 27 - 12\sqrt{6} + 8
\]

2. Rendons rationnel le dénominateur du réel \( x = \frac{A}{B} \)

En remarquant que \( A \) et \( B \) sont deux expressions conjuguées, \( x \) peut s’écrire :

\[
x = \frac{A}{B} = \frac{A^2}{A \cdot B} = \frac{35 + 12\sqrt{6}}{19}
\]

3. Calculons le réel \( y = -18 + x + \frac{3}{19} - \frac{12\sqrt{6}}{19} \)

Remplaçons \( x \) par sa valeur ci-dessus, nous avons :

\[
y = -18 + \frac{35 + 12\sqrt{6}}{19} + \frac{3}{19} - \frac{12\sqrt{6}}{19}
\]

\[
y = -18 + \frac{38}{19}
\]

\[
y = -16
\]

Exercice

Calculons les dimensions de la surface rectangulaire à bâtir.

Soit \( A \) l’aire du rectangle, \( L \) sa longueur et \( I \) sa largeur, on a :

\[
A = L \times I \quad \text{et} \quad L = 2I \Longrightarrow A = 2I \times I = 2I^2
\]

\[
2I^2 = A \Longrightarrow I = \sqrt{\frac{A}{2}} \quad \text{Pour } A = 1512,6 \, m^2, I = \sqrt{\frac{1512,6}{2}}
\]

soit \( I \simeq 27,5 \, m \)

\[
L = 2I \Longrightarrow L = 27,50 \times 2, \quad \text{soit } L \simeq 55 \, m
\]

Exercice

1. Calculons la longueur du côté du carré 
L'aire du carré est \(  A = c^2 \)où c désigne la longueur du côté :
\[
A = c^2 \implies c = \sqrt{A}
\]
Pour \( A = 12,25 \, \text{dm}^2 \), 
\[
c = \sqrt{12,25}, \quad \text{soit} \quad c = 3,5 \, \text{dm}
\]

2. Calculons le rayon de ce cercle 
L'aire A du disque associé à un cercle de rayon R est telle que :
\[
A = \pi R^2 \implies R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}
\]
Pour \( A = 40,6944 \, \text{m}^2 et \pi = 3,14 \) :
\[
R = \sqrt{\frac{40,6944}{3,14}}, \quad \text{soit} \quad R = 3,6 \, \text{m}
\]

3. Calculons le rayon de base de ce cylindre 
Un cylindre de rayon de base r et de hauteur h a pour volume :
\[
V = \pi r^2 h \implies r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}
\]
Pour \( V = 23 079 \, \text{mm}^3 , h = 1,5 \, \text{dm} = 150 \, \text{mm} et \pi = 3,14 \):
\[
r = \sqrt{\frac{23 079}{3,14 \times 150}}, \quad \text{soit} \quad r = 7 \, \text{mm}
\]

Exercice

1. Écrivons l’inverse de a puis rendons rationnel son dénominateur 
\[
a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \implies \frac{1}{a} = \frac{2}{1+\sqrt{5}}
\]
Rationalisons :
\[
\frac{1}{a} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} \times \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}
\]
\[
= \frac{2(1-\sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1-\sqrt{5})}{-4} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]
\[
\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]

2. Comparons l’inverse de \( a \ ; a-1 \)
\[
a - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} -1 = \frac{1+\sqrt{5} -2}{2} = \frac{\sqrt{5} -1}{2}
\]
\[
\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{5} -1}{2} \implies a - 1 = \frac{1}{a}
\]

3. Démontrons que \( a^2 = a + 1 \)
\[
\frac{1}{a} = a - 1 \quad \text{(résultat précédent)}
\]
\[
\frac{1}{a} = a - 1 \implies 1 = a(a - 1) = a^2 - a
\]
\[
1 = a^2 - a \implies a^2 = a + 1
\]
\[
\text{d'où } a^2 = a + 1
\]