Exercice :
 * * *  \[ Calculons     \ C^6 et C^8     \ sachant     \ que     C^2 = 0,1     \]
    
    \[
    C^6 = (C^2)^3 = (0,1)^3 = \frac{1}{10^3} = 0,001
    \]
    
    \[
    C^8 = (C^2)^4 = (0,1)^4 = \frac{1}{10^4} = 0,0001
    \]

 * * *Complétons le tableau suivant :

    \[
    \begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x & 2x & x^2 & x^3 \\
    \hline
    -1 & -2 & 1 & -1 \\
    2 & 4 & 4 & 8 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    -1,1 & -2,2 & 1,21 & -1,331 \\
    \sqrt{7} & 2\sqrt{7} & 7 & 7\sqrt{7} \\
    \hline
    \end{array}
    \]

Exercice :

En utilisant la règle de calcul     \[ a^n = a^p \Rightarrow n = p    \]  , calculons la valeur de a dans les cas suivants :

 * * *\[ 2^{4-a} = 1 \Rightarrow 2^{4-a} = 2^0 \Rightarrow 4-a = 0 \quad d'où \quad a = 4\] 
 * * *\[ (3^a)^5 = 1 \Rightarrow 3^{5a} = 3^0 \Rightarrow 5a = 0 \quad d'où \quad a = 0\] 
 *  \[ 9^{3a} = 3^{12} \Rightarrow 9^{3a} = 3^6 \Rightarrow 3a = 6 \quad d'où \quad a = 2 \\ 
          ou 9^{3a} = 3^{12} \Rightarrow 3^{6a} = 3^{12} \Rightarrow 6a = 12 \quad d'où \quad a = 2\] 
 * * *\[ (2^2)^{3a} = 4^6 \Rightarrow 4^{3a} = 4^6 \Rightarrow 3a = 6 \quad d'où \quad a = 2\] 
 * * *\[ 5 \times 5^{a-2} = 25 \Rightarrow 5^{4-2+1} = 5^2 \Rightarrow a-2+1 = 2 \quad d'où \quad a = 3\] 
 * * *\[ 7^{2a} \times 7 = 7^7 \Rightarrow 7^{2a+1} = 7^7 \Rightarrow 2a+1 = 7 \quad d'où \quad a = 3\] 

Exercice :

En utilisant les produits remarquables, effectuons rapidement les opérations suivantes :
 *  \[ (101)^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2(100 \times 1) + 1^2 = 10\ 201 \]
 * * *\[ (99)^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2(100 \times 1) + 1^2 = 9\ 801 \]
 * * *\[ (102)^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2(100 \times 2) + 2^2 = 10\ 404 \]
 * * *\[ (98)^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2(100 \times 2) + 2^2 = 9\ 604 \]
 * * *\[ 102 \times 98 = (100+2)(100-2) = 100^2 - 2^2 = 9\ 996 \]
 * * *\[ 101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2 = 9\ 999 \]

Exercice:  
Décomposons en un produit de facteurs les expressions algébriques ci-dessous. Pour cela, nous utiliserons les règles de factorisation.

1. 
\[
a^2x^5 - ax^3 = ax^3 (ax^2 - 1)
\]
\[
a^2c - 2acx + cx^2 = c(a^2 - 2ax + x^2)
\]
\[
0,5a^2 - 0,5axy + 0,5 = 0,5(a^2 - axy + 1)
\]
\[
a^2x - 6ax^2 + 12abx = ax(a - 6x + 12b)
\]

2. 
\[
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
\]
\[
\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 = \left(\frac{1}{4}x + 1\right)^2
\]
\[
9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2
\]
\[
x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = \left(x + \frac{1}{3}\right)^2
\]
\[
\frac{a^2}{9} - \frac{x^2}{25} = \left(\frac{a}{3} - \frac{x}{5}\right)\left(\frac{a}{3} + \frac{x}{5}\right)
\]
\[
(5 - x)^2 - (2x + 1)^2 = \left[(5 - x) - (2x + 1)\right]\left[(5 - x) + (2x + 1)\right]
\]
\[
= (4 - 3x)(6 + x)
\]
\[
x^2 + 2x - 15 = x^2 + 2x - 15 + 1 - 1
\]
\[
= x^2 + 2x + 1 - 16 = (x + 1)^2 - 4^2
\]
\[
x^2 + 2x - 15 = (x + 1 - 4)(x + 1 + 4)
\]

Exercice: 

1. a) Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((2x - 3)(x - 1)^2 - 4(2x - 3) = 0\).

Mettons en facteur \(2x - 3\), on a :
\[
(2x - 3)\left[(x - 1)^2 - 4\right] = 0
\]
\[
(2x - 3)\left[(x - 1 - 2)(x - 1 + 2)\right] = 0
\]
\[
(2x - 3)(x - 3)(x + 1) = 0 \implies 2x - 3 = 0 \text{ ou } x - 3 = 0 \text{ ou } x + 1 = 0
\]
d’où 
\[
S = \left\{ \frac{3}{2}; 3; -1 \right\}
\]

b) Trouvons la solution commune aux équations \(x^2 - 2 = 0\) et \(2x\sqrt{2} - 4 = 6 - 3x\sqrt{2}\).

\[
x^2 - 2 = 0 \implies x = \sqrt{2} \text{ ou } x = -\sqrt{2}
\]
\[
2x\sqrt{2} - 4 = 6 - 3x\sqrt{2} \implies 5x\sqrt{2} = 10 \implies x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}
\]

La solution commune aux deux équations est alors 
\[
S = \left\{ \sqrt{2} \right\}
\]

2. Décomposons 4 356 en un produit de nombres premiers puis résolvons l'équation
\[
y^2 - 4 356 = 0
\]

On établit par divisions successives que 
\[
4 356 = 2 \times 2 \times 3 \times 11 \times 11 = (2 \times 3 \times 11)^2
\]
\[
y^2 - 4 356 = 0 \implies y^2 - (2 \times 3 \times 11)^2 = 0 \implies y = \pm \sqrt{(2 \times 3 \times 11)^2} = \pm (2 \times 3 \times 11)
\]
d’où 
\[
A = \{-66; 66\}
\]