Question : 
Trouvez la valeur de \(x\) dans chacune des proportions suivantes :

   * i)] \(x : 4 = 6 : 8\)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 8 = 4 \times 6 \\
    \Rightarrow x = \frac{4 \times 6}{8} = 3
    \]
    
   * ii)] 14 : \(x = 7 : 9\)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 7 = 14 \times 9 \\
    \Rightarrow x = \frac{14 \times 9}{7} = 18
    \]
    
   * iii)] 4 : 6 = \(x : 18\)
    
    \[
    \Rightarrow 4 \times 18 = 6 \times x \\
    \Rightarrow x = \frac{4 \times 18}{6} = 12
    \]
    
   * iv)] 8 : 10 = \(x : 25\)
    
    \[
    \Rightarrow 8 \times 25 = 10 \times x \\
    \Rightarrow x = \frac{8 \times 25}{10} = 20
    \]
    
   * v)] 5 : 15 = 4 : \(x\)
    
    \[
    \Rightarrow 5 \times x = 15 \times 4 \\
    \Rightarrow x = \frac{15 \times 4}{5} = 12
    \]
    
   * vi)] 16 : 24 = 6 : \(x\)
    
    \[
    \Rightarrow 16 \times x = 24 \times 6 \\
    \Rightarrow x = \frac{24 \times 6}{16} = 9
    \]

Question : 
    * iii)] \( 4 : 6 = x : 18 \)
    
    \[
    \Rightarrow 6 \times x = 4 \times 18
    \]
    \[
    \Rightarrow x = \frac{4 \times 18}{6} = 12
    \]
    
    * iv)] \( 8 : 10 = x : 25 \)
    
    \[
    \Rightarrow 10 \times x = 25 \times 8 \Rightarrow x = \frac{25 \times 8}{10} = 20
    \]
    
    * v)] \( 5 : 15 = 4 : x \)
    
    \[
    \Rightarrow 5 \times x = 15 \times 4 \Rightarrow x = \frac{15 \times 4}{5} = 12
    \]
    
    * vi)] \( 16 : 24 = 6 : x \)
    
    \[
    \Rightarrow 16 \times x = 24 \times 6 \Rightarrow x = \frac{24 \times 6}{16} = 9
    \]

Question : 
Trouvez la valeur de \( x \) pour que les quatre nombres donnés soient en proportion :

    * i)] \( x, 6, 10 \) et \( 15 \)
    * ii)] \( x, 4, 15 \) et \( 30 \)
    * iii)] \( 2, x, 10 \) et \( 25 \)
    * iv)] \( 4, x, 6 \) et \( 18 \)
    * v)] \( 9, 12, x \) et \( 8 \)
    * vi)] \( 4, 10, 36 \) et \( x \)
    * vii)] \( 7, 21, x \) et \( 45 \)
    * viii)] \( 6, 8, 12 \) et \( x \)

Question : 

    * i)] \( x : 6 : 10 : 15 \)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 15 = 6 \times 10 \quad \Rightarrow x = \frac{6 \times 10}{15} = 4
    \]
    
    * ii)] \( x : 4 : 15 : 30 \)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 30 = 4 \times 15 \quad \Rightarrow x = \frac{4 \times 15}{30} = 2
    \]
    
    * iii)] \( 2 : x : 10 : 25 \)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 10 = 2 \times 25 \Rightarrow x = \frac{2 \times 25}{10} = \frac{25}{5} = 5
    \]
    
    * iv)] \( 4 : x : 6 : 18 \)
    
    \[
    \Rightarrow x \times 6 = 18 \times 4 \Rightarrow x = \frac{18 \times 4}{6} = 12
    \]
    
    * v)] \( 9 : 12 : x : 8 \)
    
    \[
    \Rightarrow 12 \times x = 9 \times 8 \Rightarrow x = \frac{9 \times 8}{12} = 6
    \]
    
    * vi)] \( 4 : 10 : 36 : x \)
    
    \[
    \Rightarrow 4 \times x = 10 \times 36 \Rightarrow x = \frac{10 \times 36}{4} = 90
    \]
    
    * vii)] \( 7 : 21 : x : 45 \)
    
    \[
    \Rightarrow 21 \times x = 7 \times 45
    \]
    \[
    \Rightarrow x = \frac{7 \times 45}{21} = \frac{45}{3} = 15
    \]
    
    * viii)] \( 6 : 8 : 12 : x \)
    
    \[
    \Rightarrow 6 \times x = 12 \times 8 \Rightarrow x = \frac{12 \times 8}{6} = 16
    \]

Question: 
Le premier, deuxième et quatrième termes d'une proportion sont respectivement 6, 18 et 75. Trouvez son troisième terme.

Solution :
Soit le troisième terme = \(x\)
\(6 : 18 : x : 75\)
\[
18 \times x = 6 \times 75
\]
\[
x = \frac{6 \times 75}{18} = \frac{75}{3} = 25
\]
Le troisième terme de la proportion est 25.

Question : 
Trouvez le deuxième terme de la proportion dont les premier, troisième et quatrième termes sont respectivement 9, 8 et 24.

Solution :
Soit le deuxième terme = \(x\)
\(9 : x : 8 : 24\)
\[
x \times 8 = 24 \times 9
\]
\[
x = \frac{24 \times 9}{8} = 3 \times 9 = 27
\]
Le deuxième terme de la proportion est 27.

Question : 
Trouvez le quatrième terme de la proportion dont les premier, deuxième et troisième termes sont respectivement 18, 27 et 32.

Solution :
Soit le quatrième terme = \(x\)
\(18 : 27 : 32 : x\)
\[
18 \times x = 27 \times 32
\]
\[
x = \frac{27 \times 32}{18} = 3 \times 16 = 48
\]
Le quatrième terme est 48.

Question :
Le rapport entre la longueur et la largeur d'un terrain scolaire est de 5 : 2. Trouvez la longueur si la largeur est de 40 mètres.

Solution :
Soit la longueur = \(x\) m,
largeur = 40 m
Le rapport de la longueur à la largeur = \(x : 40\)
Selon l'énoncé, \(5 : 2 = x : 40\)
\[
2 \times x = 40 \times 5
\]
\[
x = \frac{40 \times 5}{2} = 20 \times 5 = 100 \, \text{m}
\]

Question: 
Le rapport des ventes d'œufs un dimanche et celles de toute la semaine dans une épicerie était de 2 : 9. Si la valeur totale des ventes d'œufs cette semaine était de Rs 360, trouvez la valeur des ventes d'œufs ce dimanche.

Solution :
Soit la vente d'œufs le dimanche = \(x\)
Vente de la semaine = Rs 360
Selon la question, \(2 : 9 = x : 360\)
\[
9 \times x = 360 \times 2
\]
\[
x = \frac{360 \times 2}{9} = Rs 80
\]
La vente le dimanche est de Rs 80.

Question : 
Le rapport entre le cuivre et le zinc dans un alliage est de \( 9 : 8 \). Si le poids du zinc dans l'alliage est de \( 9.6 \, \text{kg} \), trouvez le poids du cuivre dans l'alliage.

Solution :
Soit le poids du cuivre = \( x \, \text{kg} \)
Poids du zinc = \( 9.6 \, \text{kg} \).
Selon la question,
\( 9 : 8 = x : 9.6 \)
\[
\Rightarrow 8 \times x = 9 \times 9.6
\]
\[
\Rightarrow x = \frac{9 \times 9.6}{8} = 9 \times 1.2 = 10.8 \, \text{kg}
\]
Le poids du cuivre dans l'alliage est de \( 10.8 \, \text{kg} \).

Question :
Le rapport entre le nombre de filles et le nombre de garçons dans une école est de \( 2 : 5 \). Si le nombre de garçons est de \( 225 \), trouvez :

    * i)] le nombre de filles dans l'école.
    * ii)] le nombre total d'élèves dans l'école.

Solution : 
Soit le nombre de filles dans l'école = \( x \)
Nombre de garçons dans l'école = \( 225 \)
Selon la question, \( 2 : 5 = x : 225 \)
\[
\Rightarrow 5 \times x = 2 \times 225
\]
\[
x = \frac{2 \times 225}{5} = 2 \times 45 = 90
\]
Le nombre de filles dans l'école est de \( 90 \).
Le nombre total d'élèves dans l'école = (nombre de garçons + nombre de filles) = (\( 225 + 90 \)) = \( 315 \).

Question : 
Dans une classe, un élève sur cinq réussit. S'il y a \( 225 \) élèves dans toutes les sections d'une classe, trouvez combien d'élèves réussissent.

Solution : 
Nombre total d'élèves dans toutes les sections = \( 225 \)
Donné, un élève sur cinq réussit
Nombre total d'élèves qui réussissent = \( 225 \times \frac{1}{5} = 45 \) élèves.

Question  : 
Créez un ensemble de toutes les proportions possibles à partir des nombres 15, 18, 35 et 42.

Solution : 
Les proportions possibles qui peuvent être formées à partir des nombres 15, 18, 35 et 42 sont :

    * i)] \( 15 : 35 :: 18 : 42 \)
    * ii)] \( 42 : 18 :: 35 : 15 \)
    * iii)] \( 42 : 35 :: 18 : 15 \)
    * iv)] \( 15 : 18 :: 35 : 42 \)

Question :
Si \( x \), \( y \) et \( z \) sont en proportion continue, laquelle des propositions suivantes est vraie :

    * i)] \( x : y = x : z \)
    * ii)] \( x : x = z : y \)
    * iii)] \( x : y = y : z \)
    * iv)] \( y : x = y : z \)

Solution :
(iii) \( x : y = y : z \)

Question: 
Lesquels des nombres suivants sont en proportion continue :

    * i)] 3, 6 et 15
    * ii)] 15, 45 et 48
    * iii)] 6, 12 et 24
    * iv)] 12, 18 et 27

Solution :}
(iii) et (iv)

Question : 
Trouvez la moyenne proportionnelle entre :

    * i)] 3 et 27
    * ii)] 0.06 et 0.96

Solution :}

    * i)] Moyenne proportionnelle entre 3 et 27
    \[
    = \sqrt{3 \times 27} = \sqrt{81} = 9
    \]
    
    * ii)] Moyenne proportionnelle entre 0.06 et 0.96
    \[
    = \sqrt{0.06 \times 0.96} = \sqrt{\frac{6}{100} \times \frac{96}{100}}
    \]
    \[
    = \sqrt{\frac{576}{10000}} = \frac{24}{100} = 0.24
    \]

Question : 
Trouvez la troisième proportionnelle pour :

    * i)] 36, 18
    * ii)] 5.25, 7
    * iii)] \(\xi\) 1.60, \(\xi\) 0.40

    * i)] Soit la troisième proportionnelle recherchée \( x \).
    36, 18, \( x \) sont en proportion continue
    \(\Rightarrow 36 : 18 = 18 : x\)
    \(\Rightarrow 36x = 18 \times 18\)
    \(\Rightarrow x = \frac{18 \times 18}{36}\)
    \(\Rightarrow x = 9\)
    La troisième proportionnelle recherchée est 9.

    * ii)] Soit la troisième proportionnelle recherchée \( x \).
    5.25, 7, \( x \) sont en proportion continue
    \(\Rightarrow 5.25 : 7 = 7 : x\)
    \(\Rightarrow 5.25x = 7 \times 7\)
    \(\Rightarrow x = \frac{7 \times 7}{5.25}\)
    \(\Rightarrow x = \frac{49}{5.25} = \frac{28}{3}\)
    \(\Rightarrow x = 9 \frac{1}{3}\).

    * iii)] Soit la troisième proportionnelle recherchée \( x \).
    \(\nabla\) 1.60, \(\nabla\) 0.40, \(\nabla\) \( x \) sont en proportion continue.
    \(\Rightarrow 1.60 \times x = 0.40 \times 0.40\)
    \(\Rightarrow x = \frac{0.40 \times 0.40}{1.60}\)
    \(\Rightarrow x = 0.1\).

Question: 
Le rapport entre 7 et 5 est le même que le rapport entre \(\nabla\) \( x \) et \(\nabla\) 20.50 ; trouvez la valeur de \( x \).

 Solution : 
Puisqu'il est donné que le rapport entre 7 et 5 est le même que le rapport entre \(\nabla\) \( x \) et \(\nabla\) 20.50, nous avons :
\[
7 : 5 = x : 20.50
\]
\[
5x = 7 \times 20.50
\]
\[
x = \frac{7 \times 20.50}{5} = \frac{143.5}{5} = 28.7
\]
La valeur de \( x \) est 28.7.