Partie 1 : Étude de la fonction \( f \) 
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[
f(x) =
\begin{cases}
    x - x^2 \ln x, & \text{si } x > 0, \\
    x + x^2 e^x, & \text{si } x \leq 0.
\end{cases}
\]

Et soit \( (C_f) \) la courbe de \( f \) dans un repère orthonormé \( (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) \) avec \( \overrightarrow{i} = 1 \) cm.

    * Montrer que \( f \) est continue en \( 0 \).
    * Montrer que \( f \) est dérivable en \( 0 \), puis interpréter géométriquement.
    * Calculer \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} \), puis en déduire que \( (C_f) \) admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de \( +\infty \).
    *  

        * Calculer \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) \), puis montrer que la droite \( (D) : y = x \) est asymptote à \( (C_f) \) au voisinage de \( -\infty \).
        * Montrer que \( (C_f) \) est située au-dessus de \( (D) \) sur l'intervalle \( ]-\infty,1] \).

    * Étude des variations :

        * Montrer que \( f'(x) = 1 - 2x \ln x - x \) si \( x > 0 \) et \( f'(x) = 1 + (x^2 + 2x + 1) e^x \) si \( x \leq 0 \).
        * Montrer que \( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty,1] \) et strictement décroissante sur \( [1,+\infty[ \).
        * Dresser le tableau de variation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).


        * Montrer que l'équation \( f(x) = 0 \) admet une solution unique \( \alpha \) dans l'intervalle \( ]1,2[ \).
        * En déduire que \( \ln(\alpha) = \frac{1}{\alpha} \).

        * Montrer que \( f''(x) = (x^2 + 4x + 2) e^x \) pour tout \( x \in ]-\infty,0] \).
        * Vérifier que \( (C_f) \) admet deux points d'inflexion d'abscisses \( -2+\sqrt{2} \) et \( -2-\sqrt{2} \).

    * Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère \( (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) \).

Partie 2 : Intégration et aire 

    * Montrer que \( \int_1^\alpha x \ln x \, dx = \frac{3\alpha^2 - \alpha + 1}{9} \).
    * Calculer en cm² l’aire du domaine limité par \( (C_f) \), la droite \( (D) \) et les droites d’équations \( x = 1 \) et \( x = \alpha \).

Partie 3 : Étude de la suite \( (u_n) \)}
Soit la suite \( (u_n) \) définie par :

\[
u_0 = 0.2, \quad u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.
\]

    * Montrer que \( 0 < u_n < 1 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
    * Montrer que la suite \( (u_n) \) est croissante et en déduire qu’elle est convergente.
    * Déterminer la limite de la suite \( (u_n) \).

Solution :

1) Continuité de \( f \) en \( 0 \)}
La continuité en \( x = 0 \) implique que :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0).
\]

Calculons les limites à gauche et à droite.

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 0 + 0^2 e^0 = 0.
\]

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0 - 0^2 \ln 0 = 0.
\]

Comme \( f(0) = 0 \), on en conclut que \( f \) est continue en \( 0 \).

2) Dérivabilité en \( 0 \)}
On calcule les dérivées à gauche et à droite :

\[
f'(x) = 1 - 2x \ln x - x \quad \text{pour } x > 0.
\]

\[
f'(x) = 1 + (x^2 + 2x + 1) e^x \quad \text{pour } x \leq 0.
\]

Calculons :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f'(x) = 1 + (0 + 0 + 1)e^0 = 1+1 = 2.
\]

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} f'(x) = 1.
\]

Les dérivées ne sont pas égales, donc \( f \) n'est pas dérivable en 0.

3) Limite au voisinage de \( +\infty \)}
\[
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (1 - x \ln x).
\]

Or, pour \( x \to +\infty \), \( x \ln x \to +\infty \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.
\]

4) Asymptote en \( -\infty \)}
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = x.
\]

Ainsi, \( y = x \) est une asymptote.

5) Étude de la monotonie 
\[
f'(x) > 0 \text{ pour } x < 1, \quad f'(x) < 0 \text{ pour } x > 1.
\]

Donc \( f \) est croissante sur \( ]-\infty,1] \) et décroissante sur \( [1,+\infty[ \).

6) Calcul de l'aire}
\[
A = \int_1^\alpha (x - x \ln x) \, dx.
\]

6) Calcul de l’aire}
L’aire demandée est celle du domaine délimité par la courbe \( (C_f) \), la droite \( (D) \) d’équation \( y = x \) et les deux droites verticales \( x = 1 \) et \( x = \alpha \). L’aire est donnée par :

\[
A = \int_1^\alpha (f(x) - x) \, dx.
\]

Or, nous avons montré que :

\[
f(x) = x - x^2 \ln x \text{ pour } x > 0.
\]

Donc :

\[
A = \int_1^\alpha (x - x^2 \ln x - x) \, dx.
\]

\[
A = \int_1^\alpha (-x^2 \ln x) \, dx.
\]

Utilisons une intégration par parties avec :

\[
u = \ln x, \quad dv = -x^2 dx.
\]

On a :

\[
du = \frac{dx}{x}, \quad v = -\frac{x^3}{3}.
\]

Appliquons la formule d’intégration par parties :

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du.
\]

\[
\int (-x^2 \ln x) \, dx = -\frac{x^3}{3} \ln x + \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{dx}{x}.
\]

\[
= -\frac{x^3}{3} \ln x + \int \frac{x^2}{3} dx.
\]

\[
= -\frac{x^3}{3} \ln x + \frac{x^3}{9}.
\]

En évaluant entre 1 et \( \alpha \) :

\[
A = \left[ -\frac{x^3}{3} \ln x + \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{\alpha}.
\]

\[
= \left( -\frac{\alpha^3}{3} \ln \alpha + \frac{\alpha^3}{9} \right) - \left( -\frac{1}{3} \ln 1 + \frac{1}{9} \right).
\]

\[
= -\frac{\alpha^3}{3} \ln \alpha + \frac{\alpha^3}{9} - \frac{1}{9}.
\]

7) Étude de la suite \( (u_n) \) 

a) Encadrement de \( u_n \) 

On montre par récurrence que \( 0 < u_n < 1 \).

- Initialisation : \( u_0 = 0.2 \), ce qui vérifie \( 0 < 0.2 < 1 \).
- Hérédité : Supposons \( 0 < u_n < 1 \), montrons que \( 0 < u_{n+1} < 1 \).

On sait que \( f(x) \) est croissante sur \( ]-\infty,1] \) et \( f(x) < 1 \) pour \( x \in [0,1] \). Donc :

\[
0 < f(u_n) < 1.
\]

Ainsi, \( u_{n+1} = f(u_n) \) est bien dans \( ]0,1[ \), ce qui conclut la récurrence.

b) Monotonie de la suite 

On montre que \( (u_n) \) est croissante, soit :

\[
u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n.
\]

Or, \( f(x) \geq x \) sur \( [0,1] \) car \( f \) est croissante et \( f(0) = 0 \), \( f(1) < 1 \). Ainsi, \( u_{n+1} \geq u_n \), donc \( (u_n) \) est croissante.

c) Convergence et limite}

La suite \( (u_n) \) est croissante et bornée, donc elle converge vers une limite \( \ell \).

\[
\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \ell.
\]

En passant à la limite dans \( u_{n+1} = f(u_n) \), on obtient :

\[
\ell = f(\ell).
\]

On résout l’équation \( f(x) = x \), qui admet une unique solution \( \ell = 0 \) dans \( [0,1] \).

Donc :

\[
\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0.
\]

Étude de la fonction \( f \) : Partie 2 

Nous avons la fonction définie par :

\[
f(x) =
\begin{cases}
    x - x^2 \ln x, & x > 0 \\
    x + x^2 e^x, & x \leq 0
\end{cases}
\]

1) Continuité de \( f \) en \( 0 \)}
Pour montrer que \( f \) est continue en \( x = 0 \), il faut vérifier que :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0).
\]

Calculons d'abord \( f(0) \) :

\[
f(0) = 0 + 0^2 e^0 = 0.
\]

Ensuite, déterminons les limites latérales :

- **À gauche (\( x \to 0^- \))** :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (x + x^2 e^x).
\]

Puisque \( x^2 e^x \to 0 \) quand \( x \to 0 \), on trouve :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 0.
\]

- **À droite (\( x \to 0^+ \))** :

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x - x^2 \ln x).
\]

On sait que \( \lim\limits_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0 \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 0.
\]

Comme les trois valeurs sont égales, la fonction est continue en \( 0 \).

2) Dérivabilité de \( f \) en \( 0 \)}
Pour vérifier la dérivabilité en \( x = 0 \), on doit examiner la limite :

\[
\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}.
\]

Or, \( f(0) = 0 \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.
\]

- **À gauche (\( x \to 0^- \))** :

\[
\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x + x^2 e^x}{x} = \lim\limits_{x \to 0^-} (1 + x e^x) = 1.
\]

- **À droite (\( x \to 0^+ \))** :

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x - x^2 \ln x}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+} (1 - x \ln x).
\]

On sait que \( \lim\limits_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1.
\]

Comme les limites sont égales, \( f \) est dérivable en \( 0 \) et \( f'(0) = 1 \).

**Interprétation géométrique** : la tangente à la courbe \( (C_f) \) au point \( (0,0) \) a pour équation :

\[
y = x.
\]

3) Étude asymptotique en \( +\infty \)}
Nous étudions la limite :

\[
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}.
\]

\[
\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x - x^2 \ln x}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} (1 - x \ln x).
\]

Or, \( x \ln x \to +\infty \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.
\]

Il en résulte que \( (C_f) \) admet une branche parabolique dirigée vers le bas à l'infini.

4) Asymptote oblique en \( -\infty \)}
Nous montrons que la droite \( y = x \) est asymptote à \( (C_f) \) en \( -\infty \).

Calculons :

\[
\lim\limits_{x \to -\infty} \left( f(x) - x \right).
\]

\[
\lim\limits_{x \to -\infty} \left( x + x^2 e^x - x \right) = \lim\limits_{x \to -\infty} x^2 e^x.
\]

Or, \( x^2 e^x \to 0 \) quand \( x \to -\infty \), donc :

\[
\lim\limits_{x \to -\infty} \left( f(x) - x \right) = 0.
\]

La droite \( y = x \) est asymptote oblique en \( -\infty \).

5) Étude de la variation de \( f \)}
Nous calculons la dérivée :

\[
f'(x) =
\begin{cases}
    1 - (2x \ln x + x), & x > 0, \\
    1 + e^x (2x + x^2), & x \leq 0.
\end{cases}
\]

- **Signe de \( f'(x) \)** :
  - \( f' \) est **positive** pour \( x \leq 0 \) et **négative** pour \( x > 1 \).
  - \( f(x) \) est **croissante** sur \( ]-\infty,1] \) et **décroissante** sur \( [1,+\infty[ \).

6) Points d'inflexion}
Les points d'inflexion sont donnés par \( f''(x) = 0 \). Nous trouvons que les abscisses des points d’inflexion sont :

\[
x = -2 + \sqrt{2}, \quad x = -2 - \sqrt{2}.
\]

7) Construction de la courbe \( (C_f) \)}
À partir des résultats obtenus :
- Continuité et dérivabilité en \( 0 \).
- Étude asymptotique en \( \pm \infty \).
- Tableau de variation.
- Points d'inflexion.

On peut tracer la courbe \( (C_f) \) dans un repère \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \).