Exercice 1 : (2 points)

    1. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : 
      \( I = \int_{0}^{1} \ln(x) \, dx \). 
   2. Calculer l'intégrale : \( J = \int_{0}^{\ln 4} x \sqrt{e^x} \, dx \) 
      (on pourra poser \( t = \sqrt{e^x} \)).

Exercice 2 : (3 points)}

   - Un sac contient six boules blanches portant les nombres 0, 0, 0, 1, 1, 2 et deux boules noires portant les nombres 0 et 1 (les boules sont indiscernables au toucher). On tire simultanément et au hasard deux boules du sac. 
    1. Calculer les probabilités des deux événements suivants :
  A : "les deux boules tirées sont de même couleur". 
 B : "le produit des nombres portés par les deux boules est nul". 

2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des deux nombres portés par les deux boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de X. 

Exercice 3 : (3.5 points)

-  Soit m un nombre complexe de module \( \sqrt{2} \) et a un de ses arguments. Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation : 
      \[ (E) : mz^2 - 2z + \overline{m} = 0 \] 
      (on rappelle que \( \overline{m} \) est le conjugué de \( m \) et \( |m| = \sqrt{\overline{m}m} \)).

 1. Montrer que les deux solutions de l'équation \((E)\) sont : 
      \[ z' = \frac{1+i}{m} \quad \text{et} \quad z'' = \frac{1-i}{m} \] 

 2. Écrire sous forme trigonométrique \( z' \), \( z'' \) et \( \frac{z'}{z''} \). 

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{u}; \vec{v})\), on considère les points A, B et C d'affixes \( z' \), \( z'' \) et \( z' + z'' \) respectivement. Montrer que le quadrilatère OACB est un carré. 

Exercice 4 : (2.5 points)

 On considère, dans l'espace muni d'un repère orthonormé, le point \( A(2,0,2) \) et le plan \((P)\) d'équation : \( x + y - z - 3 = 0 \). 
  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par le point A et orthogonale au plan \((P)\). 
2. Déterminer les coordonnées de B point d'intersection de la droite \( D \) et le plan \( P \). 

3. On considère la sphère \( S \) de centre A et qui coupe le plan \( P \) suivant le cercle de centre B et de rayon 2. 
   a) Déterminer le rayon de la sphère \( S \). 
   b) Écrire une équation cartésienne de la sphère \( S \). 

Problème : (9 points)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[
f(x) = 
\begin{cases} 
\ln(1-x^3) & \text{si } x < 0 \\
4x\sqrt{x-3x^2} & \text{si } x \geq 0 
\end{cases}
\]

Soit \( \mathcal{C} \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

- a)] Montrer que \( f \) est continue au point 0.

- b)] Montrer que \( f \) est dérivable au point 0 (on rappelle que : 
\[ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 \]

- 2.] Montrer que la fonction \( f \) est décroissante sur les deux intervalles \( ]-\infty;0[ \) et \( [1;+\infty[ \) et croissante sur l'intervalle \( [0;1] \).
- a)] Calculer \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \) et \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \).

- b)] Vérifier que : pour tout \( x < 0 \),
\[ \frac{f(x)}{x} = 3 \frac{\ln(-x)}{x} + \frac{\ln(1-x^3)}{x} \]

- c)] Étudier les deux branches infinies de la courbe \( \mathcal{C} \).

- 4.] Construire la courbe \( \mathcal{C} \).

- 5.] Soit \( h \) la restriction de la fonction \( f \) à l'intervalle \( ]-\infty;0[ \).

- a)] Montrer que \( h \) admet une fonction réciproque dont on précisera l'ensemble de définition \( J \).

- b)] Déterminer \( h^{-1}(x) \) pour tout \( x \) de \( J \).

- 6.] On considère la suite \( (u_n) \) définie par :
\[ u_0 = \frac{4}{9} \text{ et pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 4u_n \sqrt{u_n - 3u_n^2} \]

On pourra, ci-après, utiliser les résultats de l'étude de la fonction \( f \).

 a) Montrer par récurrence que : pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \frac{4}{9} \leq u_n \leq 1 \). 

 b) Montrer que la suite \( (u_n) \) est croissante. 

 c) En déduire que la suite \( (u_n) \) est convergente et calculer sa limite.