Exercice 1 : Géométrie dans l'espace  (2,5 points)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct, on considère :

  Plan  (P): \( x - 2y + 2z - 2 = 0 \) 
 Sphère (S): \(  x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z + 1 = 0  \) 

   * Déterminer le centre et le rayon de la sphère \( S\).  (0,5 pt)
   * Montrer que le plan \( P\) est tangent à la sphère \( S\).  (0,5 pt)
   * Déterminer le point d'intersection du plan \( P\) et de la sphère \( S\).  (1,5 pt)

Exercice 2 : Calcul intégral  (2,5 points)

   * Calculer l'intégrale :
    \[ I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln(x) \, dx (1 \text{ pt}) \]
    
       * Déterminer les réels \( a\) et \( b\) tels que :
        \[ \frac{2}{1+t} = a + \frac{b}{1+t}, \quad \forall t \neq -1 (1 \text{ pt}) \]
        
       * Calculer l'intégrale (poser \( t = \sqrt{2+x}\)) :
        \[ J = \int_{2}^{7} \frac{1}{1+\sqrt{2+x}} \, dx (0,5 \text{ pt}) \]
   

Exercice 3 : Probabilités  (2,5 points)
Un sac contient six boules indiscernables au toucher portant les nombres : \( -2\), \( -1\), \( 0\), \(1\), \( 1\), \( 2\). On tire simultanément trois boules.

   * On considère :
   
       * \( A\) : "Au moins une boule porte le nombre 1"
       * \( S\) : "La somme des nombres est nulle"
   
       * Calculer \( P(A)\).  (1 pt)
       * Montrer que \( P(S) = \frac{1}{5}\).  (0,5 pt)
   
   * On répète l'épreuve 4 fois (avec remise). Quelle est la probabilité que \( S\) se réalise exactement trois fois ?  (1 pt)

Exercice 4 : Nombres complexes et géométrie (3,5 points)}

   
       * Écrire \( (4+i)^2\) sous forme algébrique.  (0,5 pt)
       * Résoudre dans \( \mathbb{C}\) :
        \[ z^2 + (2 - 3i)z - 5(1 + i) = 0 (1 \text{ pt}) \]
   
    
   * Points \( A\), \( B\), \( C\) d'affixes :
    \[ a = 1 + 2i, \quad b = -3 + i, \quad c = 6i \]
    
       * Écrire \( \frac{c - a}{b - a}\) sous forme trigonométrique.  (1 pt)
       * En déduire que \( ABC\) est rectangle isocèle.  (1 pt)
   

Problème (9 points)

Partie A : Étude de fonction
Soit \( f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2\).

   * Montrer que \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)
   * Étudier la dérivabilité de \( f\) à droite en \( 0\)
   * Étudier les variations de \( f\) sur \( [0,1]\) et \( [1,+\infty[\)

Partie B : Suite récurrente 
Suite \( (u_n)\) définie par :
\[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n) \]

   * Montrer par récurrence que \( 1 \leq u_n \leq 2\)
   * Montrer que \( (u_n)\) est décroissante
   * En déduire la convergence et calculer la limite

Partie C : Fonction logarithmique}
Soit \( g(x) = \ln(x - 2\sqrt{x} + 2)\).

       * Calculer \( \lim\limits_{x \to +\infty} g(x)\)
       * Étudier la branche infinie de \( (C_g)\)
   
   * Étudier les variations de \( g\)
   * Construire \( (C_g)\) (la dérivée en \( 0^+\) est \(-\infty\))
    
   * Soit \( h = g|_{[1, +\infty[}\) :
   
       * Montrer que \( h\) admet une réciproque \( h^{-1}\) et déterminer son domaine \( J\)
       * Exprimer \( h^{-1}(x)\) pour \( x \in J\)