Questions : 

1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation :
\[ z^2 - 2(1 + 2i)z + 1 + 4i = 0. \]  

2. Montrer que :
\[ \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right)^2 = 1. \]

3. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ \int_1^e x^2 \ln x \, dx = \frac{2e^3 + 1}{9}. \]

 4. Montrer que :
\[ \int_2^4 \frac{dx}{x\sqrt{x-1}} = \frac{\pi}{6} \]
(on pourra poser : t = \sqrt{x-1} ). 

 Exercice 1 : 

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, la sphère S d'équation :
\[ (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 2 \]
et le plan P d'équation :
\[ x + y - 3 = 0. \]

1. Montrer que le plan P est tangent à la sphère S .  

2. Déterminer les coordonnées du point de contact de P et S .  
Exercice 2 :

Une urne contient trois boules blanches et sept boules noires (les boules sont indiscernables au toucher).

-On tire au hasard, simultanément, deux boules de l'urne. Soit A et B les deux événements suivants :

- A : "Les deux boules tirées sont noires"
- B : "Parmi les deux boules tirées, une boule au moins est blanche"
 
Montrer que :
\[ P(A) = \frac{7}{15} \quad \text{et} \quad P(B) = \frac{8}{15}. \]

-On considère l'expérience aléatoire suivante :

-On tire une boule de l'urne
-Si la boule est blanche, on arrête le tirage
-Si elle est noire, on la met de côté puis on tire une deuxième et dernière boule de l'urne

Soit C et D les deux événements suivants :

- C : "Avoir une boule blanche au premier tirage"
- D : "Avoir une boule blanche"

 a) Calculer la probabilité de l'événement C . 

Problème :

Première partie : 
On considère les deux fonctions g et h définies sur ]0;+\infty[ par :
\[ g(x) = x - 1 - \ln x \quad \text{et} \quad h(x) = x + (x-2)\ln x. \]

 1.a) Calculer\[ g'(x) \] pour tout\[ x \in ]0;+\infty[  \] puis étudier le sens de variations de g .

 b) En déduire que : \[g(x) \geq 0\]  pour tout \[ x \in ]0;+\infty[  \] .

 2.a) Montrer que : \[ h(x) = 1 + g(x) + (x-1)\ln x \] pour tout x \in ]0;+\infty[ \] .

b) Montrer que : \[ (x-1)\ln x \geq 0 \] pour tout x \in ]0;+\infty[ \] . 

3. En déduire que :  h(x) > 0 pour tout\[  x \in ]0;+\infty[ \] .

Deuxième partie :
On considère la fonction f définie sur  \[ ]0;+\infty[\]  par :
\[ f(x) = 1 + x\ln x - (\ln x)^2. \]
Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1.a) Calculer  \[ \lim\limits_{x\to 0} f(x)\]   puis interpréter géométriquement le résultat.

  b) Calculer \[ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\]  puis déterminer la branche infinie de (C) au voisinage de +\infty
(remarquer que : \[  f(x) = 1 + x\ln x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right) )\] 

 2.a) Montrer que :\[  f'(x) = \frac{h(x)}{x} \] pour tout \[ x \in ]0;+\infty[ \].

 b) En déduire que f est strictement croissante sur \[ ]0;+\infty[ \].

 3. Soit (\Delta) la droite tangente à (C) au point A(1,1) .

a) Montrer que  y = x est une équation cartésienne de (\Delta) .

b) Vérifier que :  \[f(x) - x = (\ln x - 1)g(x)\]  pour tout \[ x \in ]0;+\infty[ \] .

 c) Étudier le signe de \[ f(x) - x \] puis en déduire la position relative de (C) et (\Delta) .

-4. Construire la courbe (C) et la droite (\Delta) dans le même repère.

 & (on admettra que la courbe (C) possède un point d'inflexion d'abscisse comprise entre 1 et 1,5).

Troisième partie :}

On considère la suite numérique (u_n) définie par :
\[ u_0 = \sqrt{e} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n) \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \]

-Montrer par récurrence que :\[ 1 < u_n < e\]  pour tout \[ n \in \mathbb{N} \] .

-Montrer que la suite (u_n) est décroissante. (on pourra utiliser le résultat de la question 3.c) de la deuxième partie).

-En déduire que la suite (u_n) est convergente et calculer sa limite.