Résoudre l'équation différentielle : \( y'' + y' - 6y = 0 \).

Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe :
\[
Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}.
\]

En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \ln(1 + \cos(x)) \, dx = \frac{\pi}{2} - 1.
\]
(on rappelle que : \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \))

On pose : \( u_n = n + \left( \frac{1}{3} \right)^n \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \). Calculer, en fonction de \( n \), la somme :
\[
S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n.
\]

Exercice 1 :

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère :

- Le plan \( P \) d'équation : \( x - z + 1 = 0 \)
- La sphère \( S \) de centre \( \Omega(1,0,0) \) et de rayon \( r = 2 \)

Montrer que \( P \) et \( S \) se coupent suivant un cercle \( \Gamma \).

Déterminer le centre et le rayon du cercle \( \Gamma \).

Exercice 2: 

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe : \( (1 - i)^2 \).

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation :
\[
z^2 - 2(1 + 2i)z - (3 - 6i) = 0.
\]

On considère dans le plan complexe les points \( A \) et \( B \) d'affixes :
\[
a = 3i \quad \text{et} \quad b = 2 + i.
\]
Déterminer puis construire \( (D) \), ensemble des points \( M \) d'affixe \( z \) tel que :
\[
|z - 3i| = |z - 2 - i|.
\]

Exercice 3 :

Un sac contient quatre boules blanches et deux boules noires (les boules sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard une boule du sac. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

On tire au hasard, successivement et avec remise, cinq boules du sac. Quelle est la probabilité de tirer exactement deux boules blanches ?


a) Montrer que la probabilité de tirer une boule blanche au moins est :
\[
p = 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n.
\]

b) Quel est le nombre minimum de tirages pour lequel \( p \geq 0{,}999 \) ?
(on prendra : \( \log 3 \approx 0{,}48 \), où \( \log \) désigne le logarithme décimal).

Problème :

On considère la fonction numérique \( f \) définie sur \( [0;2[ \) par :
\[
f(x) = \ln \left( \frac{x}{2-x} \right).
\]
Soit \( (C) \) la courbe représentative de \( f \) dans un repère orthonormé.

1. a) Calculer \( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) \) et \( \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) \).

b) Montrer que : \( f'(x) = \frac{2}{x(2-x)} \) pour tout \( x \in ]0;2[ \).

c) Dresser le tableau de variations de \( f \).

2. a) Montrer que le point \( A(1,0) \) est un centre de symétrie de \( (C) \).

b) Écrire une équation cartésienne de la tangente \( (T) \) à \( (C) \) en \( A(1,0) \).

3. On pose : \( \varphi(x) = f(x) - x \) pour tout \( x \in [0;2[ \).

a) Montrer que : \( \varphi\left(\frac{3}{2}\right) < 0 \) et \( \varphi\left(\frac{7}{4}\right) > 0 \).
(on prendra : \( \ln 3 \approx 1{,}1 \) et \( \ln 7 \approx 1{,}94 \)).

b) En déduire que \( f(x) = x \) admet une solution \( \alpha \in \left]\frac{3}{2};\frac{7}{4}\right[ \), et interpréter graphiquement.

4. a) Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \).

b) Montrer que : \( f^{-1}(x) = \frac{2e^x}{1+e^x} \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

5. Construire dans le même repère \( (C) \) et \( (\Gamma) \), représentative de \( f^{-1} \).

6. a) Calculer :
\[
\int_{0}^{\alpha} \frac{e^x}{1+e^x} \, dx \quad \text{où } \alpha \text{ est la solution trouvée en 3.b)}.
\]

b) Calculer l'aire du domaine plan délimité par :

- Les deux courbes \( (C) \) et \( (\Gamma) \)
- Les deux axes du repère