\[
\boxed{ Exercice 1 : (3 points)}
\]
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les points \( A(-2,2,8)\), \( B(6,6,0)\), \( C(2,-1,0)\) et \( D(0,1,-1)\) et \( (S)\) l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient : \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
* Déterminer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{OC} \land \overrightarrow{OD}\) et en déduire que \( x + 2y + 2z = 0\) est une équation cartésienne du plan \( (OCD)\).
* Vérifier que \( (S)\) est la sphère de centre \( \Omega(2,4,4)\) et de rayon 6.
* a)] Calculer la distance du point \( \Omega\) au plan \( (OCD)\).
* b)] En déduire que le plan \( (OCD)\) est tangent à la sphère \( (S)\).
* c)] Vérifier que : \( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\) puis en déduire que \( O\) est le point de contact de la sphère \( (S)\) et le plan \( (OCD)\).
\[
\boxed{ Exercice 2 : (3 points)}
\]
On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \( (O, \vec{u}, \vec{v})\), les points \( A\), \( B\) et \( C\) d'affixes respectives :
\[ a = 2 - 2i, \quad b = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, \quad c = 1 - \sqrt{3} + (1 + \sqrt{3})i. \]
* Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes \( a\) et \( b\).
* On considère la rotation \( R\) de centre le point \( O\) et d'angle \( \frac{5\pi}{6}\).
* a)] (0,75 pt) Soit \( z\) l'affixe d'un point M du plan complexe et \( z'\) l'affixe du point M' image de M par la rotation \( R\). Montrer que : \( z' = bz\).
* b)] (0,5 pt) Vérifier que le point \( C\) est l'image du point \( A\) par la rotation \( R\).
* (0,75 pt) Montrer que : \( \arg c = \arg a + \arg b [2\pi]\) puis en déduire un argument du nombre complexe \( c\).
\[
\boxed{ Exercice 3 : (3 points)}
\]
Une urne contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 5 boules rouges (les boules sont indiscernables au toucher). On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne.
* (1,5 pt) On considère les deux événements suivants :
A :" tirer trois boules de même couleur"
B : "tirer trois boules de couleurs différentes deux à deux"
Montrer que : \( p(A) = \frac{3}{44}\) et \( p(B) = \frac{3}{11}\).
* Soit \( X\) la variable aléatoire qui à chaque tirage de trois boules associe le nombre de couleurs que portent ces boules.
* a)] (0,25 pt) Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire \( X\).
* b)] (1,25 pt) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X\) et calculer l'espérance mathématique \( E(X)\).
\[
\boxed{ Exercice 4 : (2 points)}
\]
On pose :
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{x}{x+3} \, dx \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^{1} \ln(2x+6) \, dx. \]
* a)] Vérifier que :
\[ \frac{x}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3} \text{ pour tout réel } x \text{ différent de } -3. \]
* b)] Montrer que :
\[ I = 1 - 3\ln 2. \]
* En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ J = -I. \]
\[
\boxed{ Problème : (9 points)}
\]
On considère la fonction numérique \( f\) de la variable réelle \( x\) définie par :
\[ f(x) = 2\ln\left(e^x - 2\sqrt{e^x} + 2\right). \]
\( (C)\) désigne la courbe représentative de la fonction \)f\) dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j})\).
* Vérifier que :
\[ e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 = \left(\sqrt{e^x} - 1\right)^2 + 1 \text{ pour tout } x \text{ de } \mathbb{R} \]
puis en déduire que l'ensemble de définition de la fonction \( f\) est \)\mathbb{R}\) et que :
\[ (\forall x \in \mathbb{R}),\ 1 - \frac{2}{\sqrt{e^x}} + \frac{2}{e^x} > 0. \]
* Calculer \( \lim_{x \to +\infty} f(x)\) puis montrer que :
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \ln 4 \text{ et interpréter géométriquement ce résultat.} \]
* a)] Montrer que :
\[ f'(x) = \frac{2\sqrt{e^x}\left(\sqrt{e^x} - 1\right)}{\left(\sqrt{e^x} - 1\right)^2 + 1} \text{ pour tout } x \text{ de } \mathbb{R} \]
et vérifier que \( f'(0) = 0\).
* b)] Étudier le signe de \( \sqrt{e^x} - 1\) sur \( \mathbb{R}\) et en déduire que la fonction \( f\) est croissante sur \( [0, +\infty[\) et décroissante sur \( ]-\infty, 0]\).
* a)] Vérifier que :
\[ (\forall x \in \mathbb{R}),\ f(x) = 2x + 2\ln\left(1 - \frac{2}{\sqrt{e^x}} + \frac{2}{e^x}\right). \]
* b)] Montrer que la droite \)D\) d'équation \( y = 2x\) est une asymptote à la courbe \( C\) au voisinage de \( +\infty\).
* 5a)] Vérifier que :
\[ e^x - 3\sqrt{e^x} + 2 = \left(\sqrt{e^x} - 1\right)\left(\sqrt{e^x} - 2\right) \text{ pour tout } x \text{ de } \mathbb{R}. \]
5b)] (0,5 pt) Étudier le signe de \( \sqrt{e^x} - 2\) et \( (\sqrt{e^x} - 1)(\sqrt{e^x} - 2)\) sur \( \mathbb{R}\).
5c)] (0,25 pt) En déduire que : \( e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 \leq \sqrt{e^x}\) pour tout \( x\) de l'intervalle \( [0,\ln4]\).
5d)] (0,5 pt) Montrer que : \( f(x) \leq x\) pour tout\( x\) de l'intervalle \( [0,\ln4]\).
6.] (0,75 pt) Construire la courbe \( (C)\).
(On admettra que la courbe \)(C)\) possède deux points d'inflexion dont l'abscisse de l'un est inférieure à \)-1\) et l'abscisse de l'autre est supérieure à 2, la détermination de ces deux points n'est pas demandée et on prendra \)\ln4 = 1,4\)).
Partie II:
Soit \( (u_n)\) la suite numérique définie par :
\[ u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \text{ de } \mathbb{N}. \]
On pourra, ci-après, utiliser les résultats de l'étude de la fonction \( f\).
* Montrer que : \( 0 \leq u_n \leq \ln4\) pour tout \( n\) de \( \mathbb{N}\).
* Montrer que la suite \( (u_n)\) est décroissante.
* En déduire que la suite \( (u_n)\) est convergente et calculer sa limite.