\section*{Exercice 1 : Géométrie dans l'espace \hfill (3 points)}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère :
\begin{itemize}
\item Points : $A(0,-2,0)$, $B(1,1,-4)$, $C(0,1,-4)$
\item Sphère $S$ : $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$
\item Montrer que :
\begin{itemize}
\item Centre de $S$ : $\Omega(1,2,3)$
\item Rayon : $5$
\end{itemize}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 4\vec{j} + 3\vec{k}$
\item En déduire l'équation du plan $(ABC)$ : $4y + 3z + 8 = 0$
\item Calculer $d(\Omega, (ABC))$ et montrer que $(ABC)$ est tangent à $S$
\end{enumerate}
\item Soit $(\Delta)$ la droite passant par $\Omega$ et perpendiculaire à $(ABC)$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Représentation paramétrique de $(\Delta)$ :
\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 2 + 4t \\
z = 3 + 3t
\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})
\]
\item Point d'intersection $H$ de $(\Delta)$ avec $(ABC)$ : $(1,-2,0)$
\item Vérifier que $H$ est le point de contact de $(ABC)$ et $S$
\section*{Exercice 2 : Nombres complexes \hfill (3 points)}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
\[ z^2 - 8\sqrt{3}z + 64 = 0 \]
\item Dans le plan complexe $(O, \vec{u}, \vec{v})$, avec :
\[ a = 8i, \quad b = 4\sqrt{3}-4i, \quad c = 2(4\sqrt{3}+4i) \]
et $R$ rotation de centre $O$ et angle $\frac{4\pi}{3}$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que l'image $M'$ de $M$ par $R$ vérifie :
\[ z' = \left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z \]
\item Vérifier que $B = R(A)$
\item Montrer que :
\[ \frac{a-b}{c-b} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \]
puis l'écrire sous forme trigonométrique
\item En déduire que $ABC$ est équilatéral
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
Une urne contient huit boules portant les nombres :
\[(1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3)\]
(les boules sont indiscernables au toucher).
On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne.
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
\item Soit A l’événement : "tirer deux boules portant le nombre 2" \\
et B l’événement : "tirer deux boules dont une au moins porte le nombre 1".
Montrer que \( p(A) = \frac{3}{28} \) et que \( p(B) = \frac{13}{28} \).
\item Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules portant un nombre impair.
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
\item Montrer que \( p(X = i) = \frac{15}{28} \).
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
\section*{Exercice 4 : (3 points)}
On considère la suite numérique \( (u_n) \) définie par :
\[u_0 = 1 \, \text{et} \, u_{n+1} = \frac{3u_n}{21 + u_n} \, \text{pour tout n de } \mathbb{N}.\]
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
\item Montrer que \( u_n > 0 \, \text{pour tout n de } \mathbb{N} \).
\item Montrer que \( u_{n+1} < \frac{1}{7} u_n \, \text{pour tout n de } \mathbb{N} \).
\item Montrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante et qu’elle est convergente.
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Montrer par récurrence que \( u_n < \left(\frac{1}{7}\right)^n \, \text{pour tout n de } \mathbb{N}^* \).
\item Déterminer la limite de la suite \( (u_n) \).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 5 : (8 points)}
\subsection*{I) On considère la fonction numérique g définie sur \( ]0, +\infty[ \) par :}
\[g(x) = x^3 - x - 2 \ln x + 3.\]
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Vérifier que :
\[3x^3 - x - 2 = (x - 1)(3x^2 + 3x + 2) \, \text{pour tout x de l’intervalle } ]0, +\infty[.\]
\item Montrer que: \( g'(x) = \frac{(x - 1)(3x^2 + 3x + 2)}{x} \, \text{pour tout x de l’intervalle } ]0, +\infty[ \).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Vérifier que : \( \frac{3x^2 + 3x + 2}{x} > 0 \, \text{pour tout x de l’intervalle } ]0, +\infty[ \).
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}, start=2]
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{b)}]
\item En déduire que le signe de \( g'(x) \) est celui de \( x-1 \) sur \(]0, +\infty[\).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Montrer que la fonction \( g \) est décroissante sur l’intervalle \(]0, 1]\) et qu’elle est croissante sur l’intervalle \([1, +\infty[\).
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=\textbf{b)}]
\item En déduire que \( g(x) > 0 \) pour tout \( x \) de l’intervalle \(]0, +\infty[\) (remarquer que \( g(1) > 0 \)).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{II) On considère la fonction numérique \( f \) définie sur \(]0, +\infty[\) par :}
\[f(x) = x - 1 + \frac{x - 1 + \ln x}{x^2}\]
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O; \vec{I}, \vec{J})\)
(on prendra \(\|\vec{I}\| = \|\vec{J}\| = 1\text{cm}\)).
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
\item Montrer que : \( f'(x) = \frac{g(x)}{x^3} \) pour tout \( x \) de l’intervalle \(]0, +\infty[\) puis en déduire que la fonction \( f \) est croissante sur l’intervalle \(]0, +\infty[\).
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item Montrer que : \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\) puis interpréter géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=\textbf{b)}]
\item Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1 + \ln x}{x^2} = 0\) et que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) \\
(on rappelle que : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0\)).
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=\textbf{c)}]
\item Montrer que la droite \((\Delta)\) d'équation \(y = x - 1\) est une asymptote à la courbe \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).
\end{enumerate}
\item Montrer que \(y = 3(x - 1)\) est une équation de la droite tangente à la courbe \((C)\) au point de coordonnées \((1, 0)\).
\item Construire la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\). (on admettra que la courbe \((C)\) possède un point d’inflexion unique dont on ne demande pas de déterminer).
\item
\begin{enumerate}[label=\textbf{a)}]
\item En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx = 1 - \frac{2}{e} \quad \left(\text{poser } u'(x) = \frac{1}{x^2} \quad \text{et } v(x) = \ln x\right)\]
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[label=\textbf{b)}]
\item Montrer que l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C)\), la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x = 1\) et \(x = e\) est égale à \(1 - \frac{1}{e} \text{cm}^2\).