Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (3 points)}

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)), on considère :

    - Points : \( A(0,-2,0), B(1,1,-4), C(0,1,-4) \)
    - Sphère \( S : x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0 \)
    - Montrer que :
   
        - Le centre de \( S \) est \( \Omega(1,2,3) \)
        - Le rayon de \( S \) est 5
     
        - Montrer que \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 4\vec{j} + 3\vec{k} \)
        - En déduire l'équation du plan (ABC) : \( 4y + 3z + 8 = 0 \)
        - Calculer \( d(\Omega, (ABC)) \) et montrer que \( (ABC) \) est tangent à \( S \)

    - Soit \( (\Delta) \) la droite passant par \( \Omega \) et perpendiculaire à \( (ABC) \)

        - Donner une représentation paramétrique de \( (\Delta) \) :
        \[
        \begin{cases}
            x = 1 \\
            y = 2 + 4t \\
            z = 3 + 3t
        \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})
        \]
        
        - Déterminer le point d'intersection \( H \) de \( (\Delta) \) avec \( (ABC) \) : \( (1,-2,0) \)
        - Vérifier que \( H \) est le point de contact de \( (ABC) \) et \( S \)

Exercice 2 : Nombres complexes (3 points)
    - Résoudre dans \( \mathbb{C} \) :
    \[
    z^2 - 8\sqrt{3}z + 64 = 0
    \]
    
    - Dans le plan complexe \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \), on pose :
    \[
    a = 8i, \quad b = 4\sqrt{3}-4i, \quad c = 2(4\sqrt{3}+4i)
    \]
    et \( R \) la rotation de centre \( O \) et d'angle \( \frac{4\pi}{3} \)

 
        - Montrer que l'image \( M' \) de \( M \) par \( R \) vérifie :
        \[
        z' = \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)z
        \]
        
        - Vérifier que \( B = R(A) \)
        
        - Montrer que :
        \[
        \frac{a-b}{c-b} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}
        \]
        puis l'écrire sous forme trigonométrique
        
        - En déduire que le triangle ABC est équilatéral

Exercice 3 : Probabilités  (3 points) 

Une urne contient huit boules portant les nombres :
\[
(1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3)
\]
On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules.
    - Soient les événements :
   
        - \( A \) : "tirer deux boules portant le nombre 2"
        - \( B \) : "tirer deux boules dont une au moins porte le nombre 1"
   
    Montrer que :
    \[
    p(A) = \frac{3}{28}, \quad p(B) = \frac{13}{28}
    \]

    - Soit \( X \) la variable aléatoire qui associe le nombre de boules portant un nombre impair.
 
        - Déterminer les valeurs prises par \( X \)
        - Montrer que \( p(X = 1) = \frac{15}{28} \)
        - Établir la loi de probabilité de \( X \)

Exercice 4 : Suite numérique (3 points)}

On considère la suite \( (u_n) \) définie par :
\[
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{3u_n}{21 + u_n}
\]
    - Montrer que \( u_n > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
    - Montrer que \( u_{n+1} < \frac{1}{7} u_n \)
    - Montrer que la suite \( (u_n) \) est décroissante et convergente
        - Montrer par récurrence que \( u_n < \left( \frac{1}{7} \right)^n \)
        - Déterminer la limite de \( (u_n) \)

Exercice 5 : Étude de fonctions (8 points)

{I) Étude de la fonction \( g(x) = x^3 - x - 2\ln x + 3 \)}
        - Montrer que :
        \[
        3x^3 - x - 2 = (x-1)(3x^2 + 3x + 2)
        \]
        - Montrer que :
        \[
        g'(x) = \frac{(x-1)(3x^2 + 3x + 2)}{x}
        \]

        - Montrer que \( \frac{3x^2 + 3x + 2}{x} > 0 \) sur \( ]0,+\infty[ \)
        - En déduire que le signe de \( g'(x) \) est celui de \( x - 1 \)
        - En déduire que \( g \) est décroissante sur \( ]0,1] \) et croissante sur \( [1,+\infty[ \)
        - En déduire que \( g(x) > 0 \) sur \( ]0,+\infty[ \)

{II) Étude de la fonction \( f(x) = x - 1 + \frac{x - 1 + \ln x}{x^2} \)}
    - Montrer que :
    \[
    f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}
    \]
    puis montrer que \( f \) est croissante sur \( ]0,+\infty[ \)
        - Montrer que \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \), interprétation géométrique
        - Montrer que :
        \[
        \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1 + \ln x}{x^2} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
        \]
        - Montrer que la droite d'équation \( y = x - 1 \) est asymptote à \( (C) \) en \( +\infty \)

    - Montrer que la droite d'équation \( y = 3(x - 1) \) est tangente à \( (C) \) au point \( (1, 0) \)

    - Construire la droite \( (\Delta) \) et la courbe \( (C) \) (on admet l'existence d'un point d'inflexion unique)
        - Intégration par parties :
        \[
        \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \, dx = 1 - \frac{2}{e} \quad \text{(avec } u'(x) = \frac{1}{x^2}, \, v(x) = \ln x\text{)}
        \]
        - Montrer que l'aire délimitée par \( (C) \), \( (\Delta) \), \( x=1 \), \( x=e \) vaut :
        \[
        \boxed{1 - \frac{1}{e}} \text{ cm}^2
        \]